Страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

37*. Три трубы наполнят бассейн за 3 ч, первая труба наполняет бассейн за 6 ч, вторая — за 8 ч. За сколько часов третья труба наполнит этот бассейн?

$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

Для решения этой задачи примем весь объем бассейна за 1. Производительность (скорость наполнения) каждой трубы — это часть бассейна, которую она наполняет за 1 час.

1. Найдем производительность первой трубы. Она наполняет весь бассейн (1) за 6 часов, значит ее производительность:
$v_1 = \frac{1}{6}$ бассейна/час.

2. Найдем производительность второй трубы. Она наполняет весь бассейн (1) за 8 часов, значит ее производительность:
$v_2 = \frac{1}{8}$ бассейна/час.

3. Найдем общую производительность трех труб. Они вместе наполняют весь бассейн (1) за 3 часа, значит их общая производительность:
$v_{общ} = \frac{1}{3}$ бассейна/час.

4. Общая производительность трех труб равна сумме их индивидуальных производительностей:
$v_{общ} = v_1 + v_2 + v_3$
Отсюда можно найти производительность третьей трубы:
$v_3 = v_{общ} - (v_1 + v_2)$

5. Сначала найдем суммарную производительность первой и второй труб:
$v_1 + v_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24}$ бассейна/час.

6. Теперь найдем производительность третьей трубы, вычитая из общей производительности сумму производительностей первых двух:
$v_3 = \frac{1}{3} - \frac{7}{24}$
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$v_3 = \frac{8}{24} - \frac{7}{24} = \frac{1}{24}$ бассейна/час.

7. Производительность третьей трубы составляет $\frac{1}{24}$ бассейна в час. Это означает, что для наполнения всего бассейна (1) ей потребуется:
$T_3 = \frac{1}{v_3} = \frac{1}{\frac{1}{24}} = 24$ часа.

Ответ: третья труба наполнит этот бассейн за 24 часа.

246. Докажите тождество:

а) $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4x}{x^2-1}$;

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

б) $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{-8x}{x^2-4}$;

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

в) $(1 - \frac{5}{x}) \cdot (\frac{x}{x-5} - \frac{1}{2}) = \frac{x+5}{2x}$;

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

г) $(\frac{x+1}{x-1} - \frac{x+2}{x}) : \frac{4}{x^2-x} = \frac{1}{2}$.

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$.

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{x^2-1}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$\frac{(x^2+2x+1) - (x^2-2x+1)}{x^2-1} = \frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1}$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой: $\frac{4x}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1}$.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. Общий знаменатель для дробей это $(x+2)(x-2) = x^2-4$.

$\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{(x-2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{x^2-4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^2-4x+4) - (x^2+4x+4)}{x^2-4} = \frac{x^2-4x+4-x^2-4x-4}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4}$

Полученное выражение равно правой части исходного равенства: $\frac{-8x}{x^2-4} = \frac{-8x}{x^2-4}$.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества упростим левую часть, выполнив действия по порядку. Сначала выполним действия в каждой из скобок.

1. Преобразуем выражение в первой скобке:

$1 - \frac{5}{x} = \frac{x}{x} - \frac{5}{x} = \frac{x-5}{x}$

2. Преобразуем выражение во второй скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $2(x-5)$:

$\frac{x}{x-5} - \frac{1}{2} = \frac{2x}{2(x-5)} - \frac{1(x-5)}{2(x-5)} = \frac{2x - (x-5)}{2(x-5)} = \frac{2x-x+5}{2(x-5)} = \frac{x+5}{2(x-5)}$

3. Теперь перемножим полученные дроби:

$(\frac{x-5}{x}) \cdot (\frac{x+5}{2(x-5)}) = \frac{(x-5)(x+5)}{x \cdot 2(x-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-5)$ (при условии $x \neq 5$):

$\frac{x+5}{2x}$

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью тождества: $\frac{x+5}{2x} = \frac{x+5}{2x}$.

Ответ: Тождество доказано.

г) Упростим левую часть тождества, выполнив сначала вычитание в скобках, а затем деление.

1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель $x(x-1)$:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x+2}{x} = \frac{x(x+1)}{x(x-1)} - \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2+x - (x^2-x+2x-2)}{x(x-1)}$

$\frac{x^2+x - (x^2+x-2)}{x(x-1)} = \frac{x^2+x-x^2-x+2}{x(x-1)} = \frac{2}{x(x-1)}$

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Предварительно разложим знаменатель делителя на множители: $x^2-x = x(x-1)$.

$(\frac{2}{x(x-1)}) \div \frac{4}{x^2-x} = \frac{2}{x(x-1)} \cdot \frac{x^2-x}{4} = \frac{2}{x(x-1)} \cdot \frac{x(x-1)}{4}$

Сократим на общий множитель $x(x-1)$ (при $x \neq 0$ и $x \neq 1$) и на 2:

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Результат преобразования левой части равен правой части: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Тождество доказано.