Страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

35. Две трубы при совместной работе наполняют бассейн за 24 мин. Первая труба наполняет бассейн за 40 мин. За сколько минут вторая труба наполнит этот бассейн? Примем всю работу за единицу.

1) .................. (часть) — такую часть бассейна ..................

2) .................. (часть) — такую часть бассейна ..................

3) .................. (часть) — такую часть бассейна ..................

4) .................. (мин) — за такое время вторая труба наполнит бассейн.

Ответ. ..................

Примем всю работу по наполнению бассейна за 1.

1) Определим производительность двух труб при совместной работе (какую часть бассейна они наполняют за 1 минуту). Для этого разделим всю работу (1) на время (24 мин):
$ 1 : 24 = \frac{1}{24} $ (часть) — такую часть бассейна наполняют обе трубы вместе за 1 минуту.
Ответ: $ \frac{1}{24} $.

2) Определим производительность первой трубы (какую часть бассейна она наполняет за 1 минуту). Для этого разделим всю работу (1) на время (40 мин):
$ 1 : 40 = \frac{1}{40} $ (часть) — такую часть бассейна наполняет первая труба за 1 минуту.
Ответ: $ \frac{1}{40} $.

3) Чтобы найти производительность второй трубы, вычтем из совместной производительности производительность первой трубы. Найдем общий знаменатель для 24 и 40, он равен 120.
$ \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{1 \cdot 5}{120} - \frac{1 \cdot 3}{120} = \frac{5 - 3}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60} $ (часть) — такую часть бассейна наполняет вторая труба за 1 минуту.
Ответ: $ \frac{1}{60} $.

4) Зная производительность второй трубы ($ \frac{1}{60} $ бассейна в минуту), найдем время, за которое она одна наполнит весь бассейн. Для этого разделим всю работу (1) на производительность второй трубы:
$ 1 : \frac{1}{60} = 1 \cdot 60 = 60 $ (мин) — за такое время вторая труба наполнит бассейн.
Ответ: 60.

Ответ: 60 минут.

36*. Первая труба наполняет бассейн за 3 ч, вторая — за 9 ч, третья — за 18 ч. За сколько часов три трубы наполнят бассейн?

Примем всю работу за единицу.

Для решения данной задачи воспользуемся указанием и примем всю работу по наполнению бассейна за единицу (1).

1. Найдем производительность каждой трубы

Производительность — это часть работы (бассейна), выполняемая за единицу времени (1 час).

• Первая труба наполняет бассейн за 3 часа, значит, ее производительность составляет $V_1 = \frac{1}{3}$ бассейна в час.
• Вторая труба наполняет бассейн за 9 часов, ее производительность — $V_2 = \frac{1}{9}$ бассейна в час.
• Третья труба наполняет бассейн за 18 часов, ее производительность — $V_3 = \frac{1}{18}$ бассейна в час.

2. Найдем общую производительность трех труб при совместной работе

Чтобы найти общую производительность, необходимо сложить производительности всех трех труб:

$V_{общая} = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 9 и 18 — это 18.

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}$

$\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}$

Теперь сложим дроби:

$V_{общая} = \frac{6}{18} + \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{6 + 2 + 1}{18} = \frac{9}{18}$

Сократим полученную дробь:

$V_{общая} = \frac{1}{2}$ бассейна в час.

Это значит, что работая вместе, три трубы за один час наполняют половину бассейна.

3. Рассчитаем общее время наполнения бассейна

Чтобы найти время (T), за которое будет выполнена вся работа (1), нужно разделить работу на общую производительность:

$T = \frac{1}{V_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$ часа.

Ответ: три трубы, работая вместе, наполнят бассейн за 2 часа.

245. Упростите выражение и вычислите его значение:

а) если $a = 6,3$, $b = 3,15$, то $(\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - 1)(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) = \ldots$

$\ldots$

$\ldots$

б) если $a = 7\frac{5}{9}$, $b = 7\frac{7}{9}$, то $(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} - 1)(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) = \ldots$

$\ldots$

в) если $a = 1\frac{10}{11}$, $b = 7,3$, $c = 6,3$, то $(\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c})(\frac{1}{b - c} + \frac{1}{c - a}) = \ldots$

$\ldots$

$\ldots$

г) если $a = 1\frac{2}{3}$, $b = 4\frac{5}{6}$, $c = 7\frac{8}{9}$, то $(\frac{1}{a - b} - \frac{1}{b - c}) \cdot \frac{ab - b^2 - ac + bc}{a + c - 2b} = \ldots$

а) Сначала упростим данное выражение. Преобразуем выражение в каждой скобке по отдельности.
Первая скобка: $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - 1 = \frac{a^2 + b^2 - (a^2 - b^2)}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + b^2 - a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2b^2}{a^2 - b^2} $.
Вторая скобка: $ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $.
Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:
$ (\frac{2b^2}{a^2 - b^2}) \cdot (\frac{a^2 - b^2}{ab}) = \frac{2b^2(a^2 - b^2)}{(a^2 - b^2)ab} $.
Сократим дробь на $ (a^2 - b^2) $ и $ b $:
$ \frac{2b}{a} $.
Подставим числовые значения $ a = 6.3 $ и $ b = 3.15 $ в упрощенное выражение.
$ \frac{2 \cdot 3.15}{6.3} = \frac{6.3}{6.3} = 1 $.
Также можно заметить, что $ a = 2b $, тогда $ \frac{2b}{a} = \frac{2b}{2b} = 1 $.
Ответ: 1

б) Сначала упростим данное выражение. Преобразуем выражение в каждой скобке по отдельности.
Первая скобка: $ \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} - 1 = \frac{a^2 - b^2 - (a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 - b^2 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{-2b^2}{a^2 + b^2} $.
Вторая скобка: $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} $.
Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:
$ (\frac{-2b^2}{a^2 + b^2}) \cdot (\frac{a^2 + b^2}{ab}) = \frac{-2b^2(a^2 + b^2)}{(a^2 + b^2)ab} $.
Сократим дробь на $ (a^2 + b^2) $ и $ b $:
$ \frac{-2b}{a} $.
Подставим числовые значения $ a = 7\frac{5}{9} $ и $ b = 7\frac{7}{9} $. Переведем их в неправильные дроби:
$ a = 7\frac{5}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{68}{9} $
$ b = 7\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{70}{9} $
Вычислим значение выражения:
$ \frac{-2b}{a} = \frac{-2 \cdot \frac{70}{9}}{\frac{68}{9}} = -2 \cdot \frac{70}{9} \cdot \frac{9}{68} = -2 \cdot \frac{70}{68} = -\frac{140}{68} = -\frac{35}{17} $.
Ответ: $ -\frac{35}{17} $

в) Сначала упростим данное выражение. Преобразуем выражение в каждой скобке по отдельности.
Первая скобка: $ \frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} = \frac{b-c + a-b}{(a-b)(b-c)} = \frac{a-c}{(a-b)(b-c)} $.
Вторая скобка: $ \frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} = \frac{c-a + b-c}{(b-c)(c-a)} = \frac{b-a}{(b-c)(c-a)} $.
Теперь перемножим полученные выражения:
$ \frac{a-c}{(a-b)(b-c)} \cdot \frac{b-a}{(b-c)(c-a)} = \frac{(a-c)(b-a)}{(a-b)(b-c)^2(c-a)} $.
Заменим $ b-a = -(a-b) $ и $ c-a = -(a-c) $:
$ \frac{(a-c)(-(a-b))}{(a-b)(b-c)^2(-(a-c))} = \frac{-(a-c)(a-b)}{-(a-b)(b-c)^2(a-c)} = \frac{1}{(b-c)^2} $.
Подставим числовые значения $ b = 7.3 $ и $ c = 6.3 $. Значение $ a $ не требуется.
$ \frac{1}{(7.3 - 6.3)^2} = \frac{1}{1^2} = 1 $.
Ответ: 1

г) Сначала упростим данное выражение. Преобразуем первую скобку:
$ \frac{1}{a-b} - \frac{1}{b-c} = \frac{b-c - (a-b)}{(a-b)(b-c)} = \frac{b-c-a+b}{(a-b)(b-c)} = \frac{2b-a-c}{(a-b)(b-c)} $.
Теперь упростим второй множитель (дробь). Разложим на множители числитель:
$ ab - b^2 - ac + bc = (ab - b^2) - (ac - bc) = b(a-b) - c(a-b) = (a-b)(b-c) $.
Таким образом, второй множитель равен $ \frac{(a-b)(b-c)}{a+c-2b} $.
Перемножим полученные выражения:
$ (\frac{2b-a-c}{(a-b)(b-c)}) \cdot (\frac{(a-b)(b-c)}{a+c-2b}) $.
Заметим, что числитель первой дроби $ 2b-a-c = -(a+c-2b) $. Подставим это в выражение:
$ \frac{-(a+c-2b)}{(a-b)(b-c)} \cdot \frac{(a-b)(b-c)}{a+c-2b} $.
Сокращая одинаковые множители $ (a-b) $, $ (b-c) $ и $ (a+c-2b) $, получаем:
$ -1 $.
Результат не зависит от конкретных значений $ a, b, c $, если знаменатели не обращаются в нуль, что верно для данных в условии значений.
Ответ: -1