Страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

15. Выпишите все простые делители числа:

а) $44$ — ....................

б) $48$ —

в) $52$ — ....................

г) $56$ —

а) 44 — Чтобы найти все простые делители числа, необходимо разложить это число на простые множители. Простой делитель — это делитель числа, который сам является простым числом (делится только на 1 и на самого себя).
Разложим число 44 на простые множители. Начнем деление с наименьшего простого числа — 2:
$44 \div 2 = 22$
Полученный результат 22 также делится на 2:
$22 \div 2 = 11$
Число 11 является простым, так как оно делится только на 1 и на 11.
Таким образом, разложение числа 44 на простые множители выглядит так: $44 = 2 \times 2 \times 11$ или $44 = 2^2 \times 11$.
Уникальные простые множители в этом разложении и есть простые делители числа 44.
Ответ: 2, 11.

б) 48 — Разложим число 48 на простые множители, последовательно деля его на наименьшие возможные простые числа.
$48 \div 2 = 24$
$24 \div 2 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$6 \div 2 = 3$
Число 3 является простым.
Полное разложение числа 48 на простые множители: $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$ или $48 = 2^4 \times 3$.
Простыми делителями являются уникальные простые множители из этого разложения.
Ответ: 2, 3.

в) 52 — Разложим число 52 на простые множители.
Начнем деление на 2:
$52 \div 2 = 26$
Снова делим на 2:
$26 \div 2 = 13$
Число 13 является простым.
Разложение числа 52 на простые множители: $52 = 2 \times 2 \times 13$ или $52 = 2^2 \times 13$.
Простыми делителями числа 52 являются числа 2 и 13.
Ответ: 2, 13.

г) 56 — Разложим число 56 на простые множители.
Последовательно делим на 2:
$56 \div 2 = 28$
$28 \div 2 = 14$
$14 \div 2 = 7$
Число 7 является простым.
Таким образом, разложение числа 56 на простые множители: $56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7$ или $56 = 2^3 \times 7$.
Уникальные простые множители (делители) числа 56 — это 2 и 7.
Ответ: 2, 7.

16. Запишите разложение натурального числа на простые множители:

$36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$

а) 90 =

б) 480 =

в) 1200 =

г) 2500 =

д) 1000 =

е) 144 =

а) 90

Чтобы разложить число 90 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие простые числа (2, 3, 5, и т.д.) до тех пор, пока в частном не получится 1.
Число 90 четное, поэтому делим его на 2:
$90 \div 2 = 45$
Число 45 не делится на 2. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 45 ($4+5=9$) делится на 3, значит, и само число делится на 3:
$45 \div 3 = 15$
Число 15 также делится на 3:
$15 \div 3 = 5$
Число 5 — простое, оно делится только на себя:
$5 \div 5 = 1$
Таким образом, простые множители числа 90 — это 2, 3, 3, 5. Запишем их произведение, сгруппировав одинаковые множители в виде степени:
$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$
Ответ: $2 \cdot 3^2 \cdot 5$

б) 480

Разложим число 480 на простые множители, используя метод последовательного деления.
$480 \div 2 = 240$
$240 \div 2 = 120$
$120 \div 2 = 60$
$60 \div 2 = 30$
$30 \div 2 = 15$
Число 15 не делится на 2. Делим на 3:
$15 \div 3 = 5$
Число 5 — простое:
$5 \div 5 = 1$
Простые множители: 2, 2, 2, 2, 2, 3, 5. Запишем их произведение в виде степеней:
$480 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$
Ответ: $2^5 \cdot 3 \cdot 5$

в) 1200

Разложим число 1200 на простые множители.
$1200 \div 2 = 600$
$600 \div 2 = 300$
$300 \div 2 = 150$
$150 \div 2 = 75$
Число 75 не делится на 2. Сумма цифр ($7+5=12$) делится на 3:
$75 \div 3 = 25$
Число 25 не делится на 3. Делим на 5:
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Простые множители: 2, 2, 2, 2, 3, 5, 5. Запишем их произведение в виде степеней:
$1200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2$
Ответ: $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2$

г) 2500

Разложим число 2500 на простые множители.
$2500 \div 2 = 1250$
$1250 \div 2 = 625$
Число 625 не делится на 2 и на 3. Оканчивается на 5, значит, делится на 5:
$625 \div 5 = 125$
$125 \div 5 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Простые множители: 2, 2, 5, 5, 5, 5. Запишем их произведение в виде степеней:
$2500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^4$
Ответ: $2^2 \cdot 5^4$

д) 1000

Разложим число 1000 на простые множители.
$1000 \div 2 = 500$
$500 \div 2 = 250$
$250 \div 2 = 125$
Число 125 не делится на 2 и 3. Делим на 5:
$125 \div 5 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Простые множители: 2, 2, 2, 5, 5, 5. Запишем их произведение в виде степеней:
$1000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^3$
Ответ: $2^3 \cdot 5^3$

е) 144

Разложим число 144 на простые множители.
$144 \div 2 = 72$
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
Число 9 не делится на 2. Делим на 3:
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Простые множители: 2, 2, 2, 2, 3, 3. Запишем их произведение в виде степеней:
$144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^2$
Ответ: $2^4 \cdot 3^2$

231. Выполните действия:

а) $ \frac{a}{b} + \frac{1}{b} = \dots $

б) $ \frac{3}{c} - \frac{1}{c} = \dots $

в) $ \frac{2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x - 1} = \dots $

г) $ \frac{3}{x + 1} - \frac{x - 3}{x + 1} = \dots $

д) $ \frac{5}{x - 1} + \frac{6}{1 - x} = \frac{5}{x - 1} - \frac{6}{x - 1} = \dots $

е) $ \frac{2x + 1}{x - 2} - \frac{5}{2 - x} = \frac{\dots}{x - 2} + \frac{\dots}{x - 2} = \dots $

ж) $ \frac{x - 5}{2x - 3} + \frac{1}{3 - 2x} = \frac{\dots}{2x - 3} - \frac{\dots}{2x - 3} = \dots $

з) $ \frac{x + 5}{x - 7} - \frac{1}{7 - x} = \frac{\dots}{x - 7} + \frac{\dots}{x - 7} = \dots $

а) $ \frac{a}{b} + \frac{1}{b} $

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $b$. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$ \frac{a}{b} + \frac{1}{b} = \frac{a + 1}{b} $

Ответ: $ \frac{a+1}{b} $

б) $ \frac{3}{c} - \frac{1}{c} $

Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $c$. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

$ \frac{3}{c} - \frac{1}{c} = \frac{3 - 1}{c} = \frac{2}{c} $

Ответ: $ \frac{2}{c} $

в) $ \frac{2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x - 1} $

Знаменатели дробей одинаковы ($x - 1$), поэтому складываем их числители.

$ \frac{2}{x - 1} + \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{2 + (x + 3)}{x - 1} = \frac{2 + x + 3}{x - 1} = \frac{x + 5}{x - 1} $

Ответ: $ \frac{x+5}{x-1} $

г) $ \frac{3}{x + 1} - \frac{x - 3}{x + 1} $

Знаменатели дробей одинаковы ($x + 1$), поэтому вычитаем числители. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, который относится ко всему числителю $x - 3$.

$ \frac{3}{x + 1} - \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{3 - (x - 3)}{x + 1} = \frac{3 - x + 3}{x + 1} = \frac{6 - x}{x + 1} $

Ответ: $ \frac{6-x}{x+1} $

д) $ \frac{5}{x - 1} + \frac{6}{1 - x} $

Знаменатели $x - 1$ и $1 - x$ являются противоположными выражениями, так как $1 - x = -(x - 1)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя.

$ \frac{5}{x - 1} + \frac{6}{1 - x} = \frac{5}{x - 1} + \frac{6}{-(x - 1)} = \frac{5}{x - 1} - \frac{6}{x - 1} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычитаем числители.

$ \frac{5 - 6}{x - 1} = \frac{-1}{x - 1} = -\frac{1}{x - 1} $

Ответ: $ -\frac{1}{x-1} $

е) $ \frac{2x + 1}{x - 2} - \frac{5}{2 - x} $

Знаменатели $x - 2$ и $2 - x$ являются противоположными выражениями ($2 - x = -(x - 2)$). Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе, чтобы привести дроби к общему знаменателю $x - 2$.

$ \frac{2x + 1}{x - 2} - \frac{5}{2 - x} = \frac{2x + 1}{x - 2} - \frac{5}{-(x - 2)} = \frac{2x + 1}{x - 2} + \frac{5}{x - 2} $

Складываем числители.

$ \frac{(2x + 1) + 5}{x - 2} = \frac{2x + 6}{x - 2} $

Ответ: $ \frac{2x+6}{x-2} $

ж) $ \frac{x - 5}{2x - 3} + \frac{1}{3 - 2x} $

Знаменатели $2x - 3$ и $3 - 2x$ являются противоположными выражениями ($3 - 2x = -(2x - 3)$). Приведем вторую дробь к знаменателю $2x - 3$.

$ \frac{x - 5}{2x - 3} + \frac{1}{3 - 2x} = \frac{x - 5}{2x - 3} + \frac{1}{-(2x - 3)} = \frac{x - 5}{2x - 3} - \frac{1}{2x - 3} $

Вычитаем числители.

$ \frac{(x - 5) - 1}{2x - 3} = \frac{x - 6}{2x - 3} $

Ответ: $ \frac{x-6}{2x-3} $

з) $ \frac{x + 5}{x - 7} - \frac{1}{7 - x} $

Знаменатели $x - 7$ и $7 - x$ являются противоположными ($7 - x = -(x - 7)$). Изменим знак у второй дроби и ее знаменателя.

$ \frac{x + 5}{x - 7} - \frac{1}{7 - x} = \frac{x + 5}{x - 7} - \frac{1}{-(x - 7)} = \frac{x + 5}{x - 7} + \frac{1}{x - 7} $

Складываем числители.

$ \frac{(x + 5) + 1}{x - 7} = \frac{x + 6}{x - 7} $

Ответ: $ \frac{x+6}{x-7} $

232. Преобразуйте в алгебраическую дробь:

a) $ \frac{x}{2x - 4} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x}{2(x - 2)} - \frac{1^2}{x - 2} = \frac{x}{2(x - 2)} - \frac{2}{2(x - 2)} $

...

б) $ \frac{x}{2x - 4} + \frac{1}{3x - 6} = \frac{x^3}{2(x - 2)} + \frac{1^2}{3(x - 2)} = \frac{\dots}{6(x - 2)} + \frac{\dots}{6(x - 2)} $

...

В) $ \frac{x}{5x + 10} - \frac{1}{3x + 6} = \dots $

...

Г) $ \frac{x}{3x + 9} + \frac{x - 1}{2x + 6} = \dots $

...

а) Чтобы преобразовать выражение $\frac{x}{2x - 4} - \frac{1}{x - 2}$ в алгебраическую дробь, сначала необходимо привести дроби к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатели на множители:
Знаменатель первой дроби: $2x - 4 = 2(x - 2)$.
Знаменатель второй дроби $x - 2$ уже представлен в простейшем виде.
Выражение принимает вид: $\frac{x}{2(x - 2)} - \frac{1}{x - 2}$.
2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей — $2(x - 2)$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 1, а для второй — 2.
$\frac{x}{2(x - 2)} - \frac{1 \cdot 2}{(x - 2) \cdot 2} = \frac{x}{2(x - 2)} - \frac{2}{2(x - 2)}$
4. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{x - 2}{2(x - 2)}$
5. Сократим полученную дробь на общий множитель $(x - 2)$, при условии, что $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
$\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Чтобы преобразовать выражение $\frac{x}{2x - 4} + \frac{1}{3x - 6}$, выполним следующие шаги:
1. Разложим знаменатели на множители:
$2x - 4 = 2(x - 2)$
$3x - 6 = 3(x - 2)$
Выражение примет вид: $\frac{x}{2(x - 2)} + \frac{1}{3(x - 2)}$.
2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению уникальных множителей: $2 \cdot 3 \cdot (x - 2) = 6(x - 2)$.
3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби это 3, для второй — 2.
$\frac{x \cdot 3}{2(x - 2) \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3(x - 2) \cdot 2} = \frac{3x}{6(x - 2)} + \frac{2}{6(x - 2)}$
4. Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{3x + 2}{6(x - 2)}$
Эта дробь не подлежит дальнейшему сокращению.
Ответ: $\frac{3x + 2}{6(x - 2)}$

в) Преобразуем выражение $\frac{x}{5x + 10} - \frac{1}{3x + 6}$.
1. Разложим знаменатели на множители, вынося общий множитель за скобки:
$5x + 10 = 5(x + 2)$
$3x + 6 = 3(x + 2)$
Выражение примет вид: $\frac{x}{5(x + 2)} - \frac{1}{3(x + 2)}$.
2. Общий знаменатель: $5 \cdot 3 \cdot (x + 2) = 15(x + 2)$.
3. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 5. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x \cdot 3}{5(x + 2) \cdot 3} - \frac{1 \cdot 5}{3(x + 2) \cdot 5} = \frac{3x}{15(x + 2)} - \frac{5}{15(x + 2)}$
4. Выполним вычитание:
$\frac{3x - 5}{15(x + 2)}$
Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{3x - 5}{15(x + 2)}$

г) Преобразуем выражение $\frac{x}{3x + 9} + \frac{x - 1}{2x + 6}$.
1. Разложим знаменатели на множители:
$3x + 9 = 3(x + 3)$
$2x + 6 = 2(x + 3)$
Выражение примет вид: $\frac{x}{3(x + 3)} + \frac{x - 1}{2(x + 3)}$.
2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ): $3 \cdot 2 \cdot (x + 3) = 6(x + 3)$.
3. Дополнительные множители: для первой дроби — 2, для второй — 3.
$\frac{x \cdot 2}{3(x + 3) \cdot 2} + \frac{(x - 1) \cdot 3}{2(x + 3) \cdot 3} = \frac{2x}{6(x + 3)} + \frac{3(x - 1)}{6(x + 3)}$
4. Сложим дроби, объединив их числители:
$\frac{2x + 3(x - 1)}{6(x + 3)}$
5. Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$2x + 3x - 3 = 5x - 3$
Итоговая алгебраическая дробь:
$\frac{5x - 3}{6(x + 3)}$
Дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{5x - 3}{6(x + 3)}$