Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

5. а) Не выполняя вычисления в столбик, докажите, что выражение $A = 346 \cdot 17 + 347 \cdot 17$ делится на 17 и на 3.

Доказательство. $A = (346 + 347) \cdot 17$ — делится на 17 по свойству 1, а так как $346 + 347 = 693$ делится на 3, то выражение $A$ делится на 3.

б) Не выполняя вычисления в столбик, докажите, что выражение $B = 765 \cdot 23 - 543 \cdot 23$ делится на 23 и на 2.

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а)

Дано выражение $A = 346 \cdot 17 + 347 \cdot 17$.

Чтобы доказать его делимость на 17 и на 3, не прибегая к полным вычислениям, воспользуемся распределительным свойством умножения (вынесение общего множителя за скобки).

$A = (346 + 347) \cdot 17$

Доказательство делимости на 17:

Выражение $A$ представлено в виде произведения, где один из множителей равен 17. Согласно свойству делимости, если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. Следовательно, выражение $A$ делится на 17.

Доказательство делимости на 3:

Рассмотрим первый множитель в полученном выражении: $346 + 347$.

$346 + 347 = 693$

Таким образом, $A = 693 \cdot 17$.

Теперь проверим делимость на 3. Для этого достаточно проверить, делится ли на 3 хотя бы один из множителей (693 или 17). Число 17 на 3 не делится. Проверим число 693, используя признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр числа 693 равна: $6 + 9 + 3 = 18$.

Так как 18 делится на 3 ($18:3=6$), то и число 693 делится на 3. Поскольку один из множителей (693) делится на 3, то и всё произведение $A$ делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что выражение $A$ делится и на 17, и на 3.

Ответ: Выражение $A$ преобразуется к виду $A = (346 + 347) \cdot 17 = 693 \cdot 17$. Оно делится на 17, потому что содержит множитель 17. Оно делится на 3, потому что множитель 693 делится на 3 (сумма его цифр $6+9+3=18$, а 18 делится на 3).

б)

Дано выражение $B = 765 \cdot 23 - 543 \cdot 23$.

Аналогично пункту а), вынесем общий множитель 23 за скобки:

$B = (765 - 543) \cdot 23$

Доказательство делимости на 23:

Выражение $B$ является произведением, в котором один из множителей равен 23. По свойству делимости, всё произведение $B$ делится на 23.

Доказательство делимости на 2:

Рассмотрим первый множитель в полученном выражении: $765 - 543$.

$765 - 543 = 222$

Таким образом, $B = 222 \cdot 23$.

Теперь проверим делимость на 2. Для этого нужно проверить, делится ли на 2 хотя бы один из множителей. Число 23 — нечетное, на 2 не делится. Проверим число 222, используя признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра — четная (0, 2, 4, 6, 8).

Последняя цифра числа 222 — это 2, она является четной. Следовательно, 222 делится на 2. Так как множитель 222 делится на 2, то и всё произведение $B$ делится на 2.

Таким образом, мы доказали, что выражение $B$ делится и на 23, и на 2.

Ответ: Выражение $B$ преобразуется к виду $B = (765 - 543) \cdot 23 = 222 \cdot 23$. Оно делится на 23, потому что содержит множитель 23. Оно делится на 2, потому что множитель 222 — четное число (оканчивается на 2) и, следовательно, делится на 2.

6*. Даны натуральные числа $m$, $n$, $k$. Если приведённое ниже утверждение истинно (верно), то укажите свойство делимости, из которого это следует, если утверждение ложно (неверно), то приведите контрпример (пример, опровергающий утверждение).

Если $m \vdots k$, $n \vdots k$, то $(m + n) \vdots k$ — верно, свойство 3.

Если $m \vdots 8$, $n \vdots 4$, то $(m + n) \vdots (8 + 4)$ — неверно, например,

$16 \vdots 8$, $4 \vdots 4$, но $16 + 4 = 20$ не делится на $8 + 4 = 12$.

a) Если $m \vdots k$, $n \vdots k$, то $(m - n) \vdots k$ ......................

б) Если $m \vdots k$, $n \nmid k$, то $(m + n) \nmid k$ ....................

в) Если $m \vdots k$, $n \nmid k$, то $(m - n) \vdots k$ ....................

г) Если $(mn) \vdots k$, то $m \vdots k$ ....................

д) Если $m \vdots k$, $m \vdots n$, то $m \vdots (kn)$ ....................

а) Если $m \vdots k, n \vdots k$, то $(m - n) \vdots k$

Утверждение истинно. Это следует из свойства делимости разности: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это же число.

Доказательство: Если $m$ делится на $k$ и $n$ делится на $k$, то существуют такие целые числа $a$ и $b$, что $m = ak$ и $n = bk$. Тогда их разность равна $m - n = ak - bk = (a - b)k$. Поскольку разность целых чисел $a - b$ также является целым числом, произведение $(a - b)k$ делится нацело на $k$. Следовательно, $(m - n)$ делится на $k$.

Ответ: Утверждение верно, это следует из свойства делимости разности.

б) Если $m \vdots k$, $n$ не делится на $k$, то $(m + n)$ не делится на $k$

Утверждение истинно. Это следует из свойства делимости суммы: если в сумме двух слагаемых одно слагаемое делится на некоторое число, а другое не делится, то и вся сумма не делится на это число.

Доказательство (методом от противного): Предположим, что сумма $(m + n)$ делится на $k$. По условию, $m$ также делится на $k$. Из свойства делимости разности (доказанного в пункте а) следует, что если сумма $(m+n)$ и одно из слагаемых $m$ делятся на $k$, то и их разность должна делиться на $k$. Разность равна $(m + n) - m = n$. Значит, $n$ должно делиться на $k$. Но это противоречит условию, что $n$ не делится на $k$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и $(m + n)$ не делится на $k$.

Ответ: Утверждение верно, это следует из свойства делимости суммы.

в) Если $m \vdots k$, $n$ не делится на $k$, то $(m - n)$ делится на $k$

Утверждение ложно. Для опровержения приведем контрпример.

Пусть $m = 10$, $k = 5$, $n = 7$. Проверим условия: $m \vdots k$, так как $10 \vdots 5$. Число $n$ не делится на $k$, так как $7$ не делится на $5$. Условия выполнены.

Теперь проверим заключение: делится ли $(m - n)$ на $k$? Вычислим разность: $10 - 7 = 3$. Число $3$ не делится на $5$. Таким образом, заключение неверно.

Ответ: Утверждение неверно, контрпример: $m = 10, k = 5, n = 7$.

г) Если $(mn) \vdots k$, то $m \vdots k$

Утверждение ложно. Для опровержения приведем контрпример.

Пусть $m = 4$, $n = 3$, $k = 6$. Проверим условие: делится ли произведение $(mn)$ на $k$? Произведение $4 \cdot 3 = 12$. Так как $12 \vdots 6$, условие выполнено.

Теперь проверим заключение: делится ли $m$ на $k$? $4$ не делится на $6$. Заключение неверно. Это происходит потому, что делитель $k=6$ является составным числом, и его множители ($2$ и $3$) распределены между $m$ и $n$.

Ответ: Утверждение неверно, контрпример: $m = 4, n = 3, k = 6$.

д) Если $m \vdots k, m \vdots n$, то $m \vdots (kn)$

Утверждение ложно. Если число $m$ делится и на $k$, и на $n$, это означает, что $m$ является их общим кратным. Следовательно, $m$ должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Утверждение, что $m$ делится на произведение $kn$, верно только в том случае, если $k$ и $n$ являются взаимно простыми числами (то есть их наибольший общий делитель равен 1), так как для таких чисел $\text{НОК}(k, n) = kn$. В общем случае это не так.

Приведем контрпример, где $k$ и $n$ не являются взаимно простыми. Пусть $m = 12$, $k = 6$, $n = 4$. Проверим условия: $m \vdots k$, так как $12 \vdots 6$. $m \vdots n$, так как $12 \vdots 4$. Оба условия выполнены.

Теперь проверим заключение: делится ли $m$ на $(kn)$? Произведение $kn = 6 \cdot 4 = 24$. Число $12$ не делится на $24$. Заключение неверно.

Ответ: Утверждение неверно, контрпример: $m = 12, k = 6, n = 4$.

224. Сократите дробь:

а) $ \frac{3x^2}{9x} = \dots; $

б) $ \frac{2y^3}{8y^2} = \dots; $

в) $ \frac{(x-1)(x+2)}{2x+4} = \frac{\dots}{2(x+2)} = \dots $

г) $ \frac{(x-3)(x-4)}{3x-9} = \dots $

д) $ \frac{x^2-1}{2x-2} = \dots $

е) $ \frac{x^2-1}{3x+3} = \dots $

ж) $ \frac{x^2-2x+1}{x^2-1} = \dots $

з) $ \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} = \dots $

и) $ \frac{x^2+6x+9}{x^2-9} = \dots $

а) $\frac{3x^2}{9x}$

Чтобы сократить дробь, разложим числитель и знаменатель на множители. Затем сократим общие множители. Числовой коэффициент $3$ в числителе и $9$ в знаменателе сокращаются на $3$. Степени переменной $x^2$ и $x$ сокращаются на $x$.

$\frac{3x^2}{9x} = \frac{3 \cdot x \cdot x}{3 \cdot 3 \cdot x} = \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{x} \cdot x}{\cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{x}} = \frac{x}{3}$

Ответ: $\frac{x}{3}$.

б) $\frac{2y^3}{8y^2}$

Сократим числовые коэффициенты $2$ и $8$ на $2$. Сократим степени переменной $y^3$ и $y^2$ на $y^2$.

$\frac{2y^3}{8y^2} = \frac{2 \cdot y^2 \cdot y}{4 \cdot 2 \cdot y^2} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{y^2} \cdot y}{4 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{y^2}} = \frac{y}{4}$

Ответ: $\frac{y}{4}$.

в) $\frac{(x-1)(x+2)}{2x+4}$

Чтобы сократить дробь, разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель $2$ за скобки.

$2x+4 = 2(x+2)$

Теперь подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим общий множитель $(x+2)$.

$\frac{(x-1)(x+2)}{2(x+2)} = \frac{(x-1)\cancel{(x+2)}}{2\cancel{(x+2)}} = \frac{x-1}{2}$

Ответ: $\frac{x-1}{2}$.

г) $\frac{(x-3)(x-4)}{3x-9}$

Разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель $3$ за скобки.

$3x-9 = 3(x-3)$

Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим общий множитель $(x-3)$.

$\frac{(x-3)(x-4)}{3(x-3)} = \frac{\cancel{(x-3)}(x-4)}{3\cancel{(x-3)}} = \frac{x-4}{3}$

Ответ: $\frac{x-4}{3}$.

д) $\frac{x^2-1}{2x-2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель раскладывается по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. В знаменателе вынесем общий множитель $2$ за скобки.

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$2x-2 = 2(x-1)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x-1)$.

$\frac{(x-1)(x+1)}{2(x-1)} = \frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{2\cancel{(x-1)}} = \frac{x+1}{2}$

Ответ: $\frac{x+1}{2}$.

е) $\frac{x^2-1}{3x+3}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов. В знаменателе вынесем общий множитель $3$ за скобки.

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$3x+3 = 3(x+1)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x+1)$.

$\frac{(x-1)(x+1)}{3(x+1)} = \frac{(x-1)\cancel{(x+1)}}{3\cancel{(x+1)}} = \frac{x-1}{3}$

Ответ: $\frac{x-1}{3}$.

ж) $\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это квадрат разности, $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$. Знаменатель — это разность квадратов.

$x^2-2x+1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1)$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x-1)$.

$\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{\cancel{(x-1)}(x-1)}{\cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$.

з) $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это квадрат разности. Знаменатель — это разность квадратов.

$x^2-4x+4 = (x-2)^2 = (x-2)(x-2)$

$x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x-2)$.

$\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{\cancel{(x-2)}(x-2)}{\cancel{(x-2)}(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$

Ответ: $\frac{x-2}{x+2}$.

и) $\frac{x^2+6x+9}{x^2-9}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это квадрат суммы, $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Знаменатель — это разность квадратов.

$x^2+6x+9 = (x+3)^2 = (x+3)(x+3)$

$x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x+3)$.

$\frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{\cancel{(x+3)}(x+3)}{(x-3)\cancel{(x+3)}} = \frac{x+3}{x-3}$

Ответ: $\frac{x+3}{x-3}$.

225. Сократите дробь:

a) $\frac{3x - 3}{4x - 4} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots}$;

б) $\frac{5x + 10}{3x + 6} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots}$;

в) $\frac{3x^2 - 4x}{3x^3 - 4x^2} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots}$;

г) $\frac{7x^3 - 8x^2}{7x^2 - 8x} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots} = \frac{\dots}{\dots}$

д) $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16} = \frac{\dots}{\dots}$

е) $\frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 25} = \frac{\dots}{\dots}$

а) Для того чтобы сократить дробь $\frac{3x - 3}{4x - 4}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель 3, а в знаменателе — 4.

$\frac{3x - 3}{4x - 4} = \frac{3(x - 1)}{4(x - 1)}$

Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 1)$, при условии, что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

$\frac{3\cancel{(x - 1)}}{4\cancel{(x - 1)}} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{5x + 10}{3x + 6}$, вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это 5, в знаменателе — 3.

$\frac{5x + 10}{3x + 6} = \frac{5(x + 2)}{3(x + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2)$, при условии, что $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

$\frac{5\cancel{(x + 2)}}{3\cancel{(x + 2)}} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 - 4x}{3x^3 - 4x^2}$, вынесем общие множители за скобки. В числителе это $x$, а в знаменателе — $x^2$.

$\frac{3x^2 - 4x}{3x^3 - 4x^2} = \frac{x(3x - 4)}{x^2(3x - 4)}$

Сокращаем на общий множитель $(3x - 4)$ (при $x \neq \frac{4}{3}$) и на $x$ (при $x \neq 0$).

$\frac{x\cancel{(3x - 4)}}{x^2\cancel{(3x - 4)}} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{x}$

г) В дроби $\frac{7x^3 - 8x^2}{7x^2 - 8x}$ вынесем общие множители за скобки. В числителе это $x^2$, а в знаменателе — $x$.

$\frac{7x^3 - 8x^2}{7x^2 - 8x} = \frac{x^2(7x - 8)}{x(7x - 8)}$

Сокращаем на общий множитель $(7x - 8)$ (при $x \neq \frac{8}{7}$) и на $x$ (при $x \neq 0$).

$\frac{x^2\cancel{(7x - 8)}}{x\cancel{(7x - 8)}} = \frac{x^2}{x} = x$

Ответ: $x$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладываем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$

Знаменатель раскладываем по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x - 4)^2$

Подставляем разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)^2}$

Сокращаем на общий множитель $(x - 4)$, при условии что $x \neq 4$.

$\frac{\cancel{(x - 4)}(x + 4)}{(x - 4)^{\cancel{2}}} = \frac{x + 4}{x - 4}$

Ответ: $\frac{x + 4}{x - 4}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 25}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладываем по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$

Знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$

Подставляем разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x + 5)^2}{(x - 5)(x + 5)}$

Сокращаем на общий множитель $(x + 5)$, при условии что $x \neq -5$.

$\frac{(x + 5)^{\cancel{2}}}{(x - 5)\cancel{(x + 5)}} = \frac{x + 5}{x - 5}$

Ответ: $\frac{x + 5}{x - 5}$