Номер 6, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

1.1. Натуральные числа и действия с ними. Параграф 1. Натуральные числа. Часть 1 - номер 6, страница 5.

Условие.

6*. Даны натуральные числа $m$, $n$, $k$. Если приведённое ниже утверждение истинно (верно), то укажите свойство делимости, из которого это следует, если утверждение ложно (неверно), то приведите контрпример (пример, опровергающий утверждение).

Если $m \vdots k$, $n \vdots k$, то $(m + n) \vdots k$ — верно, свойство 3.

Если $m \vdots 8$, $n \vdots 4$, то $(m + n) \vdots (8 + 4)$ — неверно, например,

$16 \vdots 8$, $4 \vdots 4$, но $16 + 4 = 20$ не делится на $8 + 4 = 12$.

a) Если $m \vdots k$, $n \vdots k$, то $(m - n) \vdots k$ ......................

б) Если $m \vdots k$, $n \nmid k$, то $(m + n) \nmid k$ ....................

в) Если $m \vdots k$, $n \nmid k$, то $(m - n) \vdots k$ ....................

г) Если $(mn) \vdots k$, то $m \vdots k$ ....................

д) Если $m \vdots k$, $m \vdots n$, то $m \vdots (kn)$ ....................

Решение.

Решение 2.

а) Если $m \vdots k, n \vdots k$, то $(m - n) \vdots k$

Утверждение истинно. Это следует из свойства делимости разности: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это же число.

Доказательство: Если $m$ делится на $k$ и $n$ делится на $k$, то существуют такие целые числа $a$ и $b$, что $m = ak$ и $n = bk$. Тогда их разность равна $m - n = ak - bk = (a - b)k$. Поскольку разность целых чисел $a - b$ также является целым числом, произведение $(a - b)k$ делится нацело на $k$. Следовательно, $(m - n)$ делится на $k$.

Ответ: Утверждение верно, это следует из свойства делимости разности.

б) Если $m \vdots k$, $n$ не делится на $k$, то $(m + n)$ не делится на $k$

Утверждение истинно. Это следует из свойства делимости суммы: если в сумме двух слагаемых одно слагаемое делится на некоторое число, а другое не делится, то и вся сумма не делится на это число.

Доказательство (методом от противного): Предположим, что сумма $(m + n)$ делится на $k$. По условию, $m$ также делится на $k$. Из свойства делимости разности (доказанного в пункте а) следует, что если сумма $(m+n)$ и одно из слагаемых $m$ делятся на $k$, то и их разность должна делиться на $k$. Разность равна $(m + n) - m = n$. Значит, $n$ должно делиться на $k$. Но это противоречит условию, что $n$ не делится на $k$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и $(m + n)$ не делится на $k$.

Ответ: Утверждение верно, это следует из свойства делимости суммы.

в) Если $m \vdots k$, $n$ не делится на $k$, то $(m - n)$ делится на $k$

Утверждение ложно. Для опровержения приведем контрпример.

Пусть $m = 10$, $k = 5$, $n = 7$. Проверим условия: $m \vdots k$, так как $10 \vdots 5$. Число $n$ не делится на $k$, так как $7$ не делится на $5$. Условия выполнены.

Теперь проверим заключение: делится ли $(m - n)$ на $k$? Вычислим разность: $10 - 7 = 3$. Число $3$ не делится на $5$. Таким образом, заключение неверно.

Ответ: Утверждение неверно, контрпример: $m = 10, k = 5, n = 7$.

г) Если $(mn) \vdots k$, то $m \vdots k$

Утверждение ложно. Для опровержения приведем контрпример.

Пусть $m = 4$, $n = 3$, $k = 6$. Проверим условие: делится ли произведение $(mn)$ на $k$? Произведение $4 \cdot 3 = 12$. Так как $12 \vdots 6$, условие выполнено.

Теперь проверим заключение: делится ли $m$ на $k$? $4$ не делится на $6$. Заключение неверно. Это происходит потому, что делитель $k=6$ является составным числом, и его множители ($2$ и $3$) распределены между $m$ и $n$.

Ответ: Утверждение неверно, контрпример: $m = 4, n = 3, k = 6$.

д) Если $m \vdots k, m \vdots n$, то $m \vdots (kn)$

Утверждение ложно. Если число $m$ делится и на $k$, и на $n$, это означает, что $m$ является их общим кратным. Следовательно, $m$ должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Утверждение, что $m$ делится на произведение $kn$, верно только в том случае, если $k$ и $n$ являются взаимно простыми числами (то есть их наибольший общий делитель равен 1), так как для таких чисел $\text{НОК}(k, n) = kn$. В общем случае это не так.

Приведем контрпример, где $k$ и $n$ не являются взаимно простыми. Пусть $m = 12$, $k = 6$, $n = 4$. Проверим условия: $m \vdots k$, так как $12 \vdots 6$. $m \vdots n$, так как $12 \vdots 4$. Оба условия выполнены.

Теперь проверим заключение: делится ли $m$ на $(kn)$? Произведение $kn = 6 \cdot 4 = 24$. Число $12$ не делится на $24$. Заключение неверно.

Ответ: Утверждение неверно, контрпример: $m = 12, k = 6, n = 4$.