Номер 5, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

1.1. Натуральные числа и действия с ними. Параграф 1. Натуральные числа. Часть 1 - номер 5, страница 5.

Условие.

5. а) Не выполняя вычисления в столбик, докажите, что выражение $A = 346 \cdot 17 + 347 \cdot 17$ делится на 17 и на 3.

Доказательство. $A = (346 + 347) \cdot 17$ — делится на 17 по свойству 1, а так как $346 + 347 = 693$ делится на 3, то выражение $A$ делится на 3.

б) Не выполняя вычисления в столбик, докажите, что выражение $B = 765 \cdot 23 - 543 \cdot 23$ делится на 23 и на 2.

Доказательство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение.

Решение 2.

а)

Дано выражение $A = 346 \cdot 17 + 347 \cdot 17$.

Чтобы доказать его делимость на 17 и на 3, не прибегая к полным вычислениям, воспользуемся распределительным свойством умножения (вынесение общего множителя за скобки).

$A = (346 + 347) \cdot 17$

Доказательство делимости на 17:

Выражение $A$ представлено в виде произведения, где один из множителей равен 17. Согласно свойству делимости, если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. Следовательно, выражение $A$ делится на 17.

Доказательство делимости на 3:

Рассмотрим первый множитель в полученном выражении: $346 + 347$.

$346 + 347 = 693$

Таким образом, $A = 693 \cdot 17$.

Теперь проверим делимость на 3. Для этого достаточно проверить, делится ли на 3 хотя бы один из множителей (693 или 17). Число 17 на 3 не делится. Проверим число 693, используя признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр числа 693 равна: $6 + 9 + 3 = 18$.

Так как 18 делится на 3 ($18:3=6$), то и число 693 делится на 3. Поскольку один из множителей (693) делится на 3, то и всё произведение $A$ делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что выражение $A$ делится и на 17, и на 3.

Ответ: Выражение $A$ преобразуется к виду $A = (346 + 347) \cdot 17 = 693 \cdot 17$. Оно делится на 17, потому что содержит множитель 17. Оно делится на 3, потому что множитель 693 делится на 3 (сумма его цифр $6+9+3=18$, а 18 делится на 3).

б)

Дано выражение $B = 765 \cdot 23 - 543 \cdot 23$.

Аналогично пункту а), вынесем общий множитель 23 за скобки:

$B = (765 - 543) \cdot 23$

Доказательство делимости на 23:

Выражение $B$ является произведением, в котором один из множителей равен 23. По свойству делимости, всё произведение $B$ делится на 23.

Доказательство делимости на 2:

Рассмотрим первый множитель в полученном выражении: $765 - 543$.

$765 - 543 = 222$

Таким образом, $B = 222 \cdot 23$.

Теперь проверим делимость на 2. Для этого нужно проверить, делится ли на 2 хотя бы один из множителей. Число 23 — нечетное, на 2 не делится. Проверим число 222, используя признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра — четная (0, 2, 4, 6, 8).

Последняя цифра числа 222 — это 2, она является четной. Следовательно, 222 делится на 2. Так как множитель 222 делится на 2, то и всё произведение $B$ делится на 2.

Таким образом, мы доказали, что выражение $B$ делится и на 23, и на 2.

Ответ: Выражение $B$ преобразуется к виду $B = (765 - 543) \cdot 23 = 222 \cdot 23$. Оно делится на 23, потому что содержит множитель 23. Оно делится на 2, потому что множитель 222 — четное число (оканчивается на 2) и, следовательно, делится на 2.