Номер 10, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

1.2. Степень числа. Параграф 1. Натуральные числа. Часть 1 - номер 10, страница 7.

Условие.

10. Поставьте один из знаков >, < или =, чтобы получилось верное неравенство или равенство:

а) $7^3$ $(-7)^3$;

б) $7^4$ $(-7)^4$;

в) $(-5)^2$ $5^2$;

г) $7^2$ $7^3$;

д) $3^2$ $2^3$;

е) $4^2$ $2^4$;

ж) $5^2$ $2^5$;

з) $3^4 \cdot 3^2$ $3^{4+2}$;

и) $(2 \cdot 3)^4$ $2^4 \cdot 3^4$.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сравнить $7^3$ и $(-7)^3$, вычислим значения этих выражений. Выражение $7^3$ представляет собой произведение трех семерок: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным. Степень относится ко всему выражению в скобках, включая знак минус: $(-7)^3 = (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = 49 \cdot (-7) = -343$.
Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $343 > -343$.
Ответ: $7^3 > (-7)^3$.

б) Сравним $7^4$ и $(-7)^4$. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 4) результат будет положительным, так как знаки "минус" попарно дадут "плюс": $(-7)^4 = (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = 49 \cdot 49 = 2401$.
Вычислим значение выражения $7^4$: $7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 49 = 2401$.
Таким образом, значения выражений равны.
Ответ: $7^4 = (-7)^4$.

в) Сравним $(-5)^2$ и $5^2$. Это частный случай предыдущего пункта. Возведение в квадрат (четная степень 2) отрицательного числа дает положительный результат: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Значения выражений равны.
Ответ: $(-5)^2 = 5^2$.

г) Сравним $7^2$ и $7^3$. Вычислим значения: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
$7^3 = 7^2 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Поскольку $49 < 343$, то $7^2 < 7^3$.
Можно также рассуждать, что для основания, большего единицы (здесь 7), значение степени увеличивается с увеличением показателя степени.
Ответ: $7^2 < 7^3$.

д) Сравним $3^2$ и $2^3$. Вычислим значения выражений: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Поскольку $9 > 8$, то $3^2 > 2^3$.
Ответ: $3^2 > 2^3$.

е) Сравним $4^2$ и $2^4$. Вычислим значения: $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Значения выражений равны. Другой способ решения — привести степени к одному основанию. Так как $4 = 2^2$, то: $4^2 = (2^2)^2$. По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем $2^{2 \cdot 2} = 2^4$.
Ответ: $4^2 = 2^4$.

ж) Сравним $5^2$ и $2^5$. Вычислим значения: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Поскольку $25 < 32$, то $5^2 < 2^5$.
Ответ: $5^2 < 2^5$.

з) Сравним $3^4 \cdot 3^2$ и $3^{4+2}$. Это задание на знание свойства умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Левая часть $3^4 \cdot 3^2$ по этому свойству равна $3^{4+2}$.
Правая часть уже записана как $3^{4+2}$.
Следовательно, выражения тождественно равны.
Ответ: $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2}$.

и) Сравним $(2 \cdot 3)^4$ и $2^4 \cdot 3^4$. Это задание на знание свойства возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Левая часть $(2 \cdot 3)^4$ по этому свойству равна $2^4 \cdot 3^4$.
Правая часть уже записана как $2^4 \cdot 3^4$.
Следовательно, выражения тождественно равны.
Ответ: $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4$.