Номер 17, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

1.3. Простые и составные числа. 1.4. Разложение натуральных чисел на множители. Параграф 1. Натуральные числа. Часть 1 - номер 17, страница 10.

Условие.

17. Выпишите все делители числа:

а) 45 — 1, 3, 5, ........................

б) 36 — 1, 2, 3, 4, ........................

в) 47 — ......................

г) 59 — ......................

д) 88 — 1, 2, 4, ........................

е) 96 — 1, 2, 3, 4, ........................

Решение.

Решение 2.

а) 45
Чтобы найти все делители числа, нужно найти все целые числа, на которые оно делится без остатка. Удобно искать делители парами. Если мы находим делитель $d$, то число $45/d$ также будет делителем. Другой способ — разложить число на простые множители.
Разложим 45 на простые множители: $45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5^1$.
Все делители числа 45 являются произведениями этих множителей в различных комбинациях. Делитель будет иметь вид $3^a \times 5^b$, где $a$ может принимать значения 0, 1, 2, а $b$ — 0, 1.
Перечислим все возможные комбинации:

• $3^0 \times 5^0 = 1 \times 1 = 1$
• $3^1 \times 5^0 = 3 \times 1 = 3$
• $3^2 \times 5^0 = 9 \times 1 = 9$
• $3^0 \times 5^1 = 1 \times 5 = 5$
• $3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15$
• $3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45$

Расположив делители в порядке возрастания, получаем полный список.
Ответ: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

б) 36
Разложим число 36 на простые множители: $36 = 6 \times 6 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2^2 \times 3^2$.
Делители числа 36 имеют вид $2^a \times 3^b$, где $a \in \{0, 1, 2\}$ и $b \in \{0, 1, 2\}$.
Переберем все комбинации:

• При $a=0$: $2^0 \times 3^0 = 1$, $2^0 \times 3^1 = 3$, $2^0 \times 3^2 = 9$.
• При $a=1$: $2^1 \times 3^0 = 2$, $2^1 \times 3^1 = 6$, $2^1 \times 3^2 = 18$.
• При $a=2$: $2^2 \times 3^0 = 4$, $2^2 \times 3^1 = 12$, $2^2 \times 3^2 = 36$.

Расположим все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

в) 47
Чтобы найти делители числа 47, проверим, не является ли оно простым. Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Для проверки будем пробовать делить 47 на простые числа, не превосходящие $\sqrt{47}$.
Поскольку $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$, то $\sqrt{47} \approx 6.8$. Нужно проверить делимость на простые числа 2, 3, 5.

• 47 — нечетное число, поэтому на 2 не делится.
• Сумма цифр $4 + 7 = 11$, 11 не делится на 3, значит, 47 на 3 не делится.
• Число не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.

Так как 47 не делится ни на одно простое число до своего квадратного корня, оно является простым.
Ответ: 1, 47.

г) 59
Проверим, является ли число 59 простым. Для этого проверим его делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{59}$.
Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $\sqrt{59} \approx 7.7$. Проверяем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7.

• 59 — нечетное, на 2 не делится.
• Сумма цифр $5 + 9 = 14$, 14 не делится на 3, значит, 59 на 3 не делится.
• Число не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
• При делении на 7: $59 = 7 \times 8 + 3$. Делится с остатком.

Число 59 является простым, у него только два делителя.
Ответ: 1, 59.

д) 88
Разложим число 88 на простые множители: $88 = 8 \times 11 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 = 2^3 \times 11^1$.
Делители числа 88 имеют вид $2^a \times 11^b$, где $a \in \{0, 1, 2, 3\}$ и $b \in \{0, 1\}$.
Переберем комбинации:

• При $b=0$: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8$.
• При $b=1$: $2^0 \times 11^1 = 11$, $2^1 \times 11^1 = 22$, $2^2 \times 11^1 = 44$, $2^3 \times 11^1 = 88$.

Запишем все делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.

е) 96
Разложим число 96 на простые множители: $96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3^1$.
Делители числа 96 имеют вид $2^a \times 3^b$, где $a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ и $b \in \{0, 1\}$.
Переберем комбинации:

• При $b=0$: $2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32$.
• При $b=1$: $2^0 \times 3^1=3, 2^1 \times 3^1=6, 2^2 \times 3^1=12, 2^3 \times 3^1=24, 2^4 \times 3^1=48, 2^5 \times 3^1=96$.

Объединим и расположим все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.