Номер 13, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

1.3. Простые и составные числа. 1.4. Разложение натуральных чисел на множители. Параграф 1. Натуральные числа. Часть 1 - номер 13, страница 8.

Условие.

13. В таблице (рис. 1) записаны все натуральные числа от 1 до 90. Число 1 не простое и не составное — оно зачеркнуто. Число 2 простое — оно обведено кружком, остальные числа, делящиеся на 2, составные. Они зачеркнуты.

Первое незачеркнутое число 3 — простое. Обведите его кружком. Числа, делящиеся на 3, составные, зачеркните их, и т. д.

После зачеркивания чисел, делящихся на 5 и на 7, в таблице останутся только простые числа. Проверьте это. Выпишите все простые числа, большие 50, но меньшие 90:

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42

43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54

55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66

67 68 69 70 71 72

73 74 75 76 77 78

79 80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90

Рис. 1

Решение.

Решение 2.

Эта задача решается с помощью метода, известного как «Решето Эратосфена», который позволяет находить все простые числа до определённого предела. Мы будем последовательно выполнять шаги, описанные в условии.

Изначально в таблице с числами от 1 до 90 уже зачёркнуто число 1 (которое не является ни простым, ни составным), обведено кружком простое число 2, и зачёркнуты все остальные числа, делящиеся на 2 (чётные числа).

Первое незачёркнутое число 3 — простое. Обведите его кружком. Числа, делящиеся на 3, составные, зачеркните их, и т. д.

Следуя этому шагу, мы обводим кружком число 3. Затем зачёркиваем в таблице все числа, кратные 3 (кроме самого числа 3), которые ещё не были зачёркнуты. Так как все чётные числа уже вычеркнуты, нам остаётся зачеркнуть только нечётные числа, кратные 3. Это:

9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87.

Ответ: Дополнительно зачёркнуты числа 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87.

После зачёркивания чисел, делящихся на 5 и на 7...

Следующее по порядку незачёркнутое число — это 5. Мы обводим его кружком и зачёркиваем все его кратные, которые не были вычеркнуты на предыдущих шагах (то есть те, что не делятся на 2 или на 3). Это числа: 25, 35, 55, 65, 85.

Далее, следующее незачёркнутое число — это 7. Мы обводим его кружком и зачёркиваем его кратные, которые ещё остались в таблице (не делятся на 2, 3 или 5). Это числа: 49, 77.

Ответ: Были зачёркнуты числа, кратные 5 (25, 35, 55, 65, 85), и числа, кратные 7 (49, 77), которые не были зачёркнуты ранее.

...в таблице останутся только простые числа. Проверьте это.

Это утверждение верно. Любое составное число $n$ имеет хотя бы один простой делитель $p$, который удовлетворяет условию $p \le \sqrt{n}$. В нашем случае максимальное число в таблице $n = 90$. Найдём корень: $\sqrt{90} \approx 9.48$. Это значит, что любое составное число до 90 обязательно делится на простое число, меньшее или равное 9.48. Такими простыми числами являются 2, 3, 5 и 7. Поскольку мы зачеркнули все числа, кратные 2, 3, 5 и 7 (кроме самих этих простых чисел), все оставшиеся незачёркнутые числа (кроме 1) по определению являются простыми.

Ответ: Утверждение верно, так как любое составное число до 90 имеет простой делитель из набора {2, 3, 5, 7}, и все кратные им числа были вычеркнуты.

Выпишите все простые числа, большие 50, но меньшие 90.

Теперь нам нужно найти все простые (незачёркнутые) числа в диапазоне от 50 до 90. Просматривая числа в этом интервале, мы находим те, которые не были зачёркнуты как кратные 2, 3, 5 или 7. Это и будут искомые простые числа:

53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89.

Ответ: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89.