Номер 20, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

1.3. Простые и составные числа. 1.4. Разложение натуральных чисел на множители. Параграф 1. Натуральные числа. Часть 1 - номер 20, страница 10.

Условие.

20*. Не вычисляя в столбик, докажите, что:

а) число 777 делится на 21;

б) выражение $A = 121 \cdot 19 + 212 \cdot 19$ делится на 57;

в) выражение $B = 765 \cdot 25 - 421 \cdot 25$ делится на 100.

Доказательство.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что число 777 делится на 21, разложим число 777 на множители.
$777 = 7 \cdot 111$.
Далее, разложим 111 на множители. Так как сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, то оно делится на 3: $111 = 3 \cdot 37$.
Таким образом, мы можем записать: $777 = 7 \cdot (3 \cdot 37)$.
Сгруппируем множители: $777 = (7 \cdot 3) \cdot 37 = 21 \cdot 37$.
Поскольку число 777 можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 21, это доказывает, что 777 делится на 21 нацело.
Ответ: поскольку $777 = 21 \cdot 37$, число 777 делится на 21.

б) Чтобы доказать, что выражение $A = 121 \cdot 19 + 212 \cdot 19$ делится на 57, воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем общий множитель 19 за скобки:
$A = (121 + 212) \cdot 19$.
Вычислим сумму в скобках: $121 + 212 = 333$.
Выражение принимает вид: $A = 333 \cdot 19$.
Разложим число 57 на множители: $57 = 3 \cdot 19$. Чтобы доказать делимость A на 57, нужно показать, что в его разложении на множители есть 3 и 19.
Множитель 19 у нас уже есть. Проверим, делится ли 333 на 3. Сумма цифр $3+3+3=9$ делится на 3, значит, и 333 делится на 3: $333 = 3 \cdot 111$.
Подставим это в наше выражение: $A = (3 \cdot 111) \cdot 19$.
Перегруппируем множители: $A = (3 \cdot 19) \cdot 111 = 57 \cdot 111$.
Так как выражение A представлено в виде произведения, где один из множителей равен 57, то оно делится на 57.
Ответ: поскольку $A = 57 \cdot 111$, выражение A делится на 57.

в) Чтобы доказать, что выражение $B = 765 \cdot 25 - 421 \cdot 25$ делится на 100, вынесем общий множитель 25 за скобки:
$B = (765 - 421) \cdot 25$.
Выполним вычитание в скобках: $765 - 421 = 344$.
Выражение принимает вид: $B = 344 \cdot 25$.
Мы знаем, что $100 = 4 \cdot 25$. В нашем выражении уже есть множитель 25. Осталось проверить, делится ли другой множитель, 344, на 4.
Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. В числе 344 это число 44. Так как $44 \div 4 = 11$, то 344 делится на 4.
$344 = 4 \cdot 86$.
Подставим это в выражение для B: $B = (4 \cdot 86) \cdot 25$.
Перегруппируем множители: $B = 86 \cdot (4 \cdot 25) = 86 \cdot 100$.
Так как выражение B представлено в виде произведения, где один из множителей равен 100, то оно делится на 100.
Ответ: поскольку $B = 86 \cdot 100$, выражение B делится на 100.