Номер 19, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

1.3. Простые и составные числа. 1.4. Разложение натуральных чисел на множители. Параграф 1. Натуральные числа. Часть 1 - номер 19, страница 10.

Условие.

19*. Определите, сколько делителей имеет выражение:

а) $2^3 \cdot 3^2$ — .....................

б) $5^3 \cdot 2^5$ — .....................

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти количество натуральных делителей числа, нужно сначала разложить это число на простые множители. Если разложение на простые множители имеет вид $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$, где $p_1, p_2, \dots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \dots, a_k$ — их степени (натуральные числа), то общее количество делителей числа $N$ вычисляется по формуле: $(a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k + 1)$.

а)

Выражение $2^3 \cdot 3^2$ уже представлено в виде разложения на простые множители. Простыми множителями являются 2 и 3, а их степени равны 3 и 2 соответственно.

Чтобы найти количество делителей, к каждой степени прибавляем 1 и перемножаем полученные результаты.

Для множителя $2^3$ берем степень 3: $3 + 1 = 4$.

Для множителя $3^2$ берем степень 2: $2 + 1 = 3$.

Общее количество делителей равно произведению этих чисел: $(3 + 1)(2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.

б)

Выражение $5^3 \cdot 2^5$ также уже представлено в виде разложения на простые множители. Простые множители — 5 и 2, а их степени — 3 и 5 соответственно.

Применяем ту же формулу.

Для множителя $5^3$ берем степень 3: $3 + 1 = 4$.

Для множителя $2^5$ берем степень 5: $5 + 1 = 6$.

Общее количество делителей равно произведению этих чисел: $(3 + 1)(5 + 1) = 4 \cdot 6 = 24$.

Ответ: 24.