Номер 18, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

1.3. Простые и составные числа. 1.4. Разложение натуральных чисел на множители. Параграф 1. Натуральные числа. Часть 1 - номер 18, страница 10.

Условие.

18. Выпишите все делители числа и запишите их количество:

$2^5$ — 1, $2^1$, $2^2$, $2^3$, $2^4$, $2^5$ — 6 делителей

а) $3^6$ — ..........

б) $6^7$ — ..........

в) $7^8$ — ..........

Решение.

Решение 2.

а) $3^6$ — Для нахождения всех делителей числа вида $p^n$, где $p$ — простое число, а $n$ — натуральный показатель степени, необходимо перечислить все степени от $p^0$ до $p^n$. В данном случае $p=3$ и $n=6$.

Делителями числа $3^6$ являются: $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6$.

Записывая $3^0$ как 1, получаем список делителей: $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729$.

Общее количество делителей равно показателю степени плюс один: $n+1 = 6+1 = 7$.

Ответ: $1, 3, 9, 27, 81, 243, 729$ — 7 делителей.

б) $6^7$ — Основание степени, число 6, является составным. Для нахождения делителей необходимо разложить его на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.

Тогда исходное число равно $6^7 = (2 \cdot 3)^7 = 2^7 \cdot 3^7$.

Любой делитель этого числа имеет вид $d = 2^i \cdot 3^j$, где показатель степени $i$ может принимать любое целое значение от 0 до 7 (всего $8$ значений), а показатель степени $j$ — также любое целое значение от 0 до 7 (всего $8$ значений).

Чтобы найти общее количество делителей, нужно перемножить количество возможных значений для каждого показателя степени: $(7+1) \cdot (7+1) = 8 \cdot 8 = 64$.

Поскольку общее количество делителей велико (64), выписывать их полный список нецелесообразно. Основная задача здесь — найти их количество.

Ответ: 64 делителя.

в) $7^8$ — В этом случае основание степени, число 7, является простым. Решение аналогично пункту а). Здесь $p=7$ и $n=8$.

Делителями числа $7^8$ являются все степени числа 7 от 0 до 8: $7^0, 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, 7^5, 7^6, 7^7, 7^8$.

Записывая $7^0$ как 1 и оставляя остальные делители в виде степеней для наглядности (по аналогии с примером в задании), получаем список: $1, 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, 7^5, 7^6, 7^7, 7^8$.

Количество делителей равно $n+1$, то есть $8+1=9$.

Ответ: $1, 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, 7^5, 7^6, 7^7, 7^8$ — 9 делителей.