Страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

13. В таблице (рис. 1) записаны все натуральные числа от 1 до 90. Число 1 не простое и не составное — оно зачеркнуто. Число 2 простое — оно обведено кружком, остальные числа, делящиеся на 2, составные. Они зачеркнуты.

Первое незачеркнутое число 3 — простое. Обведите его кружком. Числа, делящиеся на 3, составные, зачеркните их, и т. д.

После зачеркивания чисел, делящихся на 5 и на 7, в таблице останутся только простые числа. Проверьте это. Выпишите все простые числа, большие 50, но меньшие 90:

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42

43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54

55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66

67 68 69 70 71 72

73 74 75 76 77 78

79 80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90

Рис. 1

Эта задача решается с помощью метода, известного как «Решето Эратосфена», который позволяет находить все простые числа до определённого предела. Мы будем последовательно выполнять шаги, описанные в условии.

Изначально в таблице с числами от 1 до 90 уже зачёркнуто число 1 (которое не является ни простым, ни составным), обведено кружком простое число 2, и зачёркнуты все остальные числа, делящиеся на 2 (чётные числа).

Первое незачёркнутое число 3 — простое. Обведите его кружком. Числа, делящиеся на 3, составные, зачеркните их, и т. д.

Следуя этому шагу, мы обводим кружком число 3. Затем зачёркиваем в таблице все числа, кратные 3 (кроме самого числа 3), которые ещё не были зачёркнуты. Так как все чётные числа уже вычеркнуты, нам остаётся зачеркнуть только нечётные числа, кратные 3. Это:

9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87.

Ответ: Дополнительно зачёркнуты числа 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81, 87.

После зачёркивания чисел, делящихся на 5 и на 7...

Следующее по порядку незачёркнутое число — это 5. Мы обводим его кружком и зачёркиваем все его кратные, которые не были вычеркнуты на предыдущих шагах (то есть те, что не делятся на 2 или на 3). Это числа: 25, 35, 55, 65, 85.

Далее, следующее незачёркнутое число — это 7. Мы обводим его кружком и зачёркиваем его кратные, которые ещё остались в таблице (не делятся на 2, 3 или 5). Это числа: 49, 77.

Ответ: Были зачёркнуты числа, кратные 5 (25, 35, 55, 65, 85), и числа, кратные 7 (49, 77), которые не были зачёркнуты ранее.

...в таблице останутся только простые числа. Проверьте это.

Это утверждение верно. Любое составное число $n$ имеет хотя бы один простой делитель $p$, который удовлетворяет условию $p \le \sqrt{n}$. В нашем случае максимальное число в таблице $n = 90$. Найдём корень: $\sqrt{90} \approx 9.48$. Это значит, что любое составное число до 90 обязательно делится на простое число, меньшее или равное 9.48. Такими простыми числами являются 2, 3, 5 и 7. Поскольку мы зачеркнули все числа, кратные 2, 3, 5 и 7 (кроме самих этих простых чисел), все оставшиеся незачёркнутые числа (кроме 1) по определению являются простыми.

Ответ: Утверждение верно, так как любое составное число до 90 имеет простой делитель из набора {2, 3, 5, 7}, и все кратные им числа были вычеркнуты.

Выпишите все простые числа, большие 50, но меньшие 90.

Теперь нам нужно найти все простые (незачёркнутые) числа в диапазоне от 50 до 90. Просматривая числа в этом интервале, мы находим те, которые не были зачёркнуты как кратные 2, 3, 5 или 7. Это и будут искомые простые числа:

53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89.

Ответ: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89.

14. Вася посмотрел на таблицу умножения (рис. 2) и сказал: «Среди ответов ни в одном из четырёх столбцов нет простых чисел».

Прав ли Вася? . . . . . (да; нет)

Есть ли простые числа среди ответов во всех столбцах таблицы умножения Васиной тетради? . . . . . (да; нет).

Объясните свой ответ: . . . . .

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ

$2 \times 2 = 4$

$2 \times 3 = 6$

$2 \times 4 = 8$

$2 \times 5 = 10$

$2 \times 6 = 12$

$2 \times 7 = 14$

$2 \times 8 = 16$

$2 \times 9 = 18$

$2 \times 10 = 20$

$3 \times 2 = 6$

$3 \times 3 = 9$

$3 \times 4 = 12$

$3 \times 5 = 15$

$3 \times 6 = 18$

$3 \times 7 = 21$

$3 \times 8 = 24$

$3 \times 9 = 27$

$3 \times 10 = 30$

$4 \times 2 = 8$

$4 \times 3 = 12$

$4 \times 4 = 16$

$4 \times 5 = 20$

$4 \times 6 = 24$

$4 \times 7 = 28$

$4 \times 8 = 32$

$4 \times 9 = 36$

$4 \times 10 = 40$

$5 \times 2 = 10$

$5 \times 3 = 15$

$5 \times 4 = 20$

$5 \times 5 = 25$

$5 \times 6 = 30$

$5 \times 7 = 35$

$5 \times 8 = 40$

$5 \times 9 = 45$

$5 \times 10 = 50$

Прав ли Вася?

Чтобы проверить утверждение Васи, нужно проанализировать числа, которые являются результатами умножения в четырёх столбцах, приведённых на рисунке. Вася говорит, что среди этих чисел нет простых.
Вспомним определение: простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет только два делителя: 1 и само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11). Число, которое не является простым и больше 1, называется составным.
Рассмотрим результаты в таблице:

• Первый столбец (умножение на 2): 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Все эти числа чётные и больше 2, значит, они делятся не только на 1 и на себя, но и на 2. Следовательно, они все составные.
• Второй столбец (умножение на 3): 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Все эти числа больше 3 и делятся на 3, поэтому они также являются составными.
• Третий столбец (умножение на 4): 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40. Все эти числа делятся на 4, значит, они составные.
• Четвёртый столбец (умножение на 5): 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Все эти числа больше 5 и делятся на 5, поэтому они тоже составные.

Каждый результат в этих столбцах получается умножением двух чисел ($a$ и $b$), каждое из которых больше или равно 2. Произведение $c = a \times b$ по определению будет составным числом, так как оно имеет делители $a$ и $b$, которые отличаются от 1 и самого числа $c$.
Таким образом, Вася прав.

Ответ: да.

Есть ли простые числа среди ответов во всех столбцах таблицы умножения Васиной тетради?

Этот вопрос относится к полной таблице умножения, которая обычно имеется в школьных тетрадях (таблица Пифагора), а не только к фрагменту на рисунке. Полная таблица умножения, как правило, включает в себя столбец и строку для умножения на 1.
Если мы рассмотрим результаты умножения на 1, то найдем среди них простые числа. Например:
$1 \times 2 = 2$
$1 \times 3 = 3$
$1 \times 5 = 5$
$1 \times 7 = 7$
Числа 2, 3, 5, 7 — простые. Следовательно, в полной таблице умножения, в отличие от показанного Васей фрагмента, простые числа среди ответов есть.

Ответ: да.

Объясните свой ответ:

1. Вася прав, потому что в представленных им четырёх столбцах все результаты являются произведениями двух чисел, больших единицы ($2 \times 2$, $2 \times 3$, $3 \times 2$ и т.д.). Любое такое произведение является составным числом, так как у него есть делители, отличные от единицы и самого себя.
2. В полной таблице умножения (включающей умножение на 1) простые числа есть. Простое число $p$ появляется в таблице как результат умножения $p \times 1$ или $1 \times p$. Например, число 5 является простым и присутствует в таблице умножения как результат $5 \times 1 = 5$.