Страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

1. Вычислите:

$297 + 128 = (297 + 3) + (128 - 3) = 300 + 125 = 425$

a) $715 - 398 = (715 + 2) - (398 + 2) = \dots$

б) $25 \cdot 48 = (25 \cdot 4) \cdot (48 : 4) = \dots$

в) $135 : 5 = (135 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = \dots$

г) $729 + 299 = \dots$

д) $911 - 297 = \dots$

e) $36 \cdot 25 = \dots$

ж) $270 : 5 = \dots$

а) Для упрощения вычитания можно прибавить или вычесть одно и то же число из уменьшаемого и вычитаемого, так как разность не изменится: $a - b = (a+c) - (b+c)$. Чтобы округлить 398 до 400, прибавим 2 к обоим числам: $715 - 398 = (715 + 2) - (398 + 2) = 717 - 400 = 317$.
Ответ: 317.

б) Для упрощения умножения можно один множитель умножить на число, а другой разделить на то же число. Произведение от этого не изменится: $a \cdot b = (a \cdot c) \cdot (b : c)$. Умножим 25 на 4, чтобы получить 100, и соответственно разделим 48 на 4: $25 \cdot 48 = (25 \cdot 4) \cdot (48 : 4) = 100 \cdot 12 = 1200$.
Ответ: 1200.

в) Для упрощения деления можно умножить или разделить делимое и делитель на одно и то же число. Частное от этого не изменится: $a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c)$. Умножим оба числа на 2, чтобы делитель стал 10, так как делить на 10 очень просто: $135 : 5 = (135 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 270 : 10 = 27$.
Ответ: 27.

г) Используем метод округления, как в примере в задании. Сумма не изменится, если к одному слагаемому прибавить число, а из другого его вычесть: $a + b = (a-c) + (b+c)$. Чтобы получить круглое число из 299, прибавим к нему 1. Чтобы сумма не изменилась, отнимем 1 от другого слагаемого: $729 + 299 = (729 - 1) + (299 + 1) = 728 + 300 = 1028$.
Ответ: 1028.

д) Используем тот же метод, что и в пункте а). Округлим вычитаемое 297 до 300, прибавив 3. Чтобы разность не изменилась, прибавим 3 и к уменьшаемому: $911 - 297 = (911 + 3) - (297 + 3) = 914 - 300 = 614$.
Ответ: 614.

е) Используем тот же метод, что и в пункте б). Удобно умножать на 100. Для этого умножим 25 на 4. Чтобы произведение не изменилось, разделим 36 на 4: $36 \cdot 25 = (36 : 4) \cdot (25 \cdot 4) = 9 \cdot 100 = 900$.
Ответ: 900.

ж) Используем тот же метод, что и в пункте в). Чтобы упростить деление на 5, удобно сделать делитель равным 10. Для этого умножим и делимое, и делитель на 2: $270 : 5 = (270 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 540 : 10 = 54$.
Ответ: 54.

2. Вычислите устно и запишите ответ:

a) $99 + 27 = \dots$

б) $156 - 99 = \dots$

в) $29 \cdot 5 = \dots$

г) $420 : 5 = \dots$

д) $32 \cdot 25 = \dots$

е) $1100 : 25 = \dots$

а) Чтобы устно сложить $99$ и $27$, удобно представить $99$ как $100 - 1$. Тогда выражение можно переписать:
$99 + 27 = (100 - 1) + 27 = 100 + (27 - 1) = 100 + 26 = 126$.
Или можно от $27$ "одолжить" единицу к $99$:
$99 + 27 = (99 + 1) + (27 - 1) = 100 + 26 = 126$.
Ответ: 126

б) Для устного вычитания $99$ из $156$ также удобно представить $99$ как $100 - 1$:
$156 - 99 = 156 - (100 - 1)$.
Раскрывая скобки, мы меняем знак перед единицей на противоположный:
$156 - 100 + 1 = 56 + 1 = 57$.
Ответ: 57

в) Чтобы умножить $29$ на $5$, представим $29$ как $30 - 1$ и воспользуемся распределительным свойством умножения:
$29 \cdot 5 = (30 - 1) \cdot 5 = 30 \cdot 5 - 1 \cdot 5 = 150 - 5 = 145$.
Ответ: 145

г) Для деления на $5$ можно умножить число на $2$ и разделить на $10$:
$420 : 5 = (420 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 840 : 10 = 84$.
Другой способ — разложить делимое на удобные слагаемые:
$420 : 5 = (400 + 20) : 5 = 400 : 5 + 20 : 5 = 80 + 4 = 84$.
Ответ: 84

д) Умножение на $25$ удобно заменить умножением на $100$ и делением на $4$, так как $25 = \frac{100}{4}$:
$32 \cdot 25 = 32 \cdot \frac{100}{4}$.
Удобнее сначала разделить $32$ на $4$, а затем результат умножить на $100$:
$(32 : 4) \cdot 100 = 8 \cdot 100 = 800$.
Ответ: 800

е) Деление на $25$ удобно заменить делением на $100$ и умножением на $4$, так как $25 = \frac{100}{4}$:
$1100 : 25 = 1100 : \frac{100}{4} = 1100 \cdot \frac{4}{100}$.
Сначала разделим $1100$ на $100$, а затем умножим на $4$:
$(1100 : 100) \cdot 4 = 11 \cdot 4 = 44$.
Ответ: 44

3. Укажите стрелками, на какие из чисел $2, 5, 3, 9$ делятся числа, записанные в первом и третьем столбцах:

1042 → 2

1715

123 123

4554

3935

3825 → 5

12 345 → 5

12 345 → 3

5103

Для решения этой задачи необходимо последовательно применить признаки делимости для каждого из указанных чисел. Вспомним основные признаки делимости:

• Признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра — четная (то есть 0, 2, 4, 6 или 8).
• Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.
• Признак делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.
• Признак делимости на 9: число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр делится на 9. Важно отметить, что если число делится на 9, оно автоматически делится и на 3.

Теперь проверим каждое число из первого и третьего столбцов.

1042

- На 2: число оканчивается на 2 (четная цифра), следовательно, оно делится на 2.
- На 5: число оканчивается на 2, а не на 0 или 5, следовательно, оно не делится на 5.
- На 3 и 9: сумма цифр числа равна $1 + 0 + 4 + 2 = 7$. 7 не делится ни на 3, ни на 9, значит, и число 1042 не делится ни на 3, ни на 9.

Ответ: 1042 → 2

1715

- На 2: число оканчивается на 5 (нечетная цифра), следовательно, оно не делится на 2.
- На 5: число оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.
- На 3 и 9: сумма цифр числа равна $1 + 7 + 1 + 5 = 14$. 14 не делится ни на 3, ни на 9, значит, и число 1715 не делится ни на 3, ни на 9.

Ответ: 1715 → 5

123 123

- На 2: число оканчивается на 3 (нечетная цифра), не делится на 2.
- На 5: число оканчивается на 3, не делится на 5.
- На 3 и 9: сумма цифр числа равна $1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 12$. Сумма 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$), но не делится на 9. Значит, число 123 123 делится на 3, но не на 9.

Ответ: 123 123 → 3

4554

- На 2: число оканчивается на 4 (четная цифра), делится на 2.
- На 5: число оканчивается на 4, не делится на 5.
- На 3 и 9: сумма цифр числа равна $4 + 5 + 5 + 4 = 18$. Сумма 18 делится на 3 ($18 : 3 = 6$) и на 9 ($18 : 9 = 2$). Значит, число 4554 делится и на 3, и на 9.

Ответ: 4554 → 2; 4554 → 3; 4554 → 9

3935

- На 2: число оканчивается на 5 (нечетная цифра), не делится на 2.
- На 5: число оканчивается на 5, делится на 5.
- На 3 и 9: сумма цифр числа равна $3 + 9 + 3 + 5 = 20$. 20 не делится ни на 3, ни на 9.

Ответ: 3935 → 5

3825

- На 2: число оканчивается на 5 (нечетная цифра), не делится на 2.
- На 5: число оканчивается на 5, делится на 5.
- На 3 и 9: сумма цифр числа равна $3 + 8 + 2 + 5 = 18$. Сумма 18 делится на 3 ($18 : 3 = 6$) и на 9 ($18 : 9 = 2$). Значит, число 3825 делится и на 3, и на 9.

Ответ: 3825 → 3; 3825 → 5; 3825 → 9

12 345

- На 2: число оканчивается на 5 (нечетная цифра), не делится на 2.
- На 5: число оканчивается на 5, делится на 5.
- На 3 и 9: сумма цифр числа равна $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. Сумма 15 делится на 3 ($15 : 3 = 5$), но не делится на 9. Значит, число 12 345 делится на 3, но не на 9.

Ответ: 12 345 → 3; 12 345 → 5

5103

- На 2: число оканчивается на 3 (нечетная цифра), не делится на 2.
- На 5: число оканчивается на 3, не делится на 5.
- На 3 и 9: сумма цифр числа равна $5 + 1 + 0 + 3 = 9$. Сумма 9 делится на 3 ($9 : 3 = 3$) и на 9 ($9 : 9 = 1$). Значит, число 5103 делится и на 3, и на 9.

Ответ: 5103 → 3; 5103 → 9

4. Подчеркните число:

а) которое делится на 4: 2017, 2018, 2019, 2020;

б) которое делится на 6: 2021, 2022, 2023, 2024;

в) которое делится на 12: 2025, 2026, 2027, 2028.

а) которое делится на 4:
Для того чтобы определить, делится ли число на 4, необходимо проверить, делится ли на 4 число, образованное двумя его последними цифрами. Проверим каждое число из предложенного списка: 2017, 2018, 2019, 2020.
- У числа 2017 последние две цифры образуют число 17. Число 17 не делится на 4 без остатка ($17 = 4 \times 4 + 1$).
- У числа 2018 последние две цифры образуют число 18. Число 18 не делится на 4 без остатка ($18 = 4 \times 4 + 2$).
- У числа 2019 последние две цифры образуют число 19. Число 19 не делится на 4 без остатка ($19 = 4 \times 4 + 3$).
- У числа 2020 последние две цифры образуют число 20. Число 20 делится на 4 без остатка ($20 \div 4 = 5$).
Следовательно, из данных чисел только 2020 делится на 4.
Ответ: 2020.

б) которое делится на 6:
Чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3.
- Признак делимости на 2: число должно быть четным (то есть оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8).
- Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.
Проверим числа из списка: 2021, 2022, 2023, 2024.
- 2021: нечетное число, значит, оно не делится на 2 и, следовательно, не делится на 6.
- 2022: четное число (делится на 2). Сумма его цифр: $2+0+2+2=6$. Число 6 делится на 3. Так как 2022 делится и на 2, и на 3, оно делится на 6.
- 2023: нечетное число, следовательно, не делится на 6.
- 2024: четное число (делится на 2). Сумма его цифр: $2+0+2+4=8$. Число 8 не делится на 3. Следовательно, 2024 не делится на 6.
Таким образом, из данных чисел только 2022 делится на 6.
Ответ: 2022.

в) которое делится на 12:
Чтобы число делилось на 12, оно должно одновременно делиться на 3 и на 4, так как $12 = 3 \times 4$.
Проверим числа из списка: 2025, 2026, 2027, 2028, используя признаки делимости на 3 и 4.
- 2025: Проверка делимости на 4: последние две цифры образуют число 25, которое не делится на 4. Значит, 2025 не делится на 12.
- 2026: Проверка делимости на 4: последние две цифры образуют число 26, которое не делится на 4. Значит, 2026 не делится на 12.
- 2027: Проверка делимости на 4: последние две цифры образуют число 27, которое не делится на 4. Значит, 2027 не делится на 12.
- 2028:
1. Проверка делимости на 4: последние две цифры образуют число 28. Так как $28 \div 4 = 7$, число 2028 делится на 4.
2. Проверка делимости на 3: сумма цифр числа $2+0+2+8=12$. Так как 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$), число 2028 делится на 3.
Поскольку 2028 делится и на 3, и на 4, оно делится и на 12.
Таким образом, из данных чисел только 2028 делится на 12.
Ответ: 2028.

222. Запишите многочлен в виде алгебраической дроби:

$3x = \frac{3x}{1}$

а) $3 + 5x = \frac{\dots}{1}$;

б) $5y - 1 = \frac{\dots}{1}$;

в) $7a + 8b = \frac{\dots}{1}$;

г) $-3x - 4y = \frac{\dots}{1}$.

Чтобы записать многочлен в виде алгебраической дроби, достаточно представить этот многочлен в виде числителя, а в знаменатель записать единицу. Любое выражение $A$ можно записать в виде дроби $\frac{A}{1}$, так как деление на 1 не изменяет значение выражения. В данном задании все многочлены нужно представить в виде дроби со знаменателем 1, как показано в примере $3x = \frac{3x}{1}$.

а) Чтобы представить многочлен $3 + 5x$ в виде алгебраической дроби, мы запишем его в числитель, а в знаменатель поставим 1.
$3 + 5x = \frac{3 + 5x}{1}$
Ответ: $\frac{3 + 5x}{1}$

б) Аналогично, для многочлена $5y - 1$ записываем его в числитель и 1 в знаменатель.
$5y - 1 = \frac{5y - 1}{1}$
Ответ: $\frac{5y - 1}{1}$

в) Представляем многочлен $7a + 8b$ в виде дроби со знаменателем 1.
$7a + 8b = \frac{7a + 8b}{1}$
Ответ: $\frac{7a + 8b}{1}$

г) Для многочлена $-3x - 4y$ поступаем так же: записываем его в числитель, а 1 в знаменатель.
$-3x - 4y = \frac{-3x - 4y}{1}$
Ответ: $\frac{-3x - 4y}{1}$

223. Поменяйте знак в знаменателе алгебраической дроби:

$\frac{2x - 1}{5 - x} = - \frac{2x - 1}{-(5 - x)} = - \frac{2x - 1}{x - 5}$

a) $\frac{3x - 7}{-x} = - \frac{3x - 7}{-(-x)} = - \frac{\dots}{\dots};$

б) $\frac{7x - 3}{-x + 1} = - \frac{7x - 3}{-(-x + 1)} = \dots$

в) $\frac{2x - 1}{3 - 2x} = - \frac{2x - 1}{-(3 - 2x)} = \dots$

а) Чтобы поменять знак в знаменателе алгебраической дроби, нужно одновременно поменять знак и перед самой дробью. Это преобразование основано на тождестве $ \frac{A}{B} = - \frac{A}{-B} $.Для дроби $ \frac{3x - 7}{-x} $ применяем это правило:

$ \frac{3x - 7}{-x} = - \frac{3x - 7}{-(-x)} $

Упрощаем новый знаменатель:

$ -(-x) = x $

Таким образом, получаем итоговое выражение:

$ - \frac{3x - 7}{x} $

Ответ: $ - \frac{3x - 7}{x} $

б) Для дроби $ \frac{7x - 3}{-x + 1} $ применим то же правило. Меняем знак перед дробью и в знаменателе:

$ \frac{7x - 3}{-x + 1} = - \frac{7x - 3}{-(-x + 1)} $

Упрощаем новый знаменатель, раскрыв скобки:

$ -(-x + 1) = x - 1 $

В результате преобразования получаем:

$ - \frac{7x - 3}{x - 1} $

Ответ: $ - \frac{7x - 3}{x - 1} $

в) Аналогично поступаем с дробью $ \frac{2x - 1}{3 - 2x} $. Меняем знак перед дробью и в знаменателе:

$ \frac{2x - 1}{3 - 2x} = - \frac{2x - 1}{-(3 - 2x)} $

Раскрываем скобки в новом знаменателе:

$ -(3 - 2x) = -3 + 2x = 2x - 3 $

В итоге получаем следующее выражение:

$ - \frac{2x - 1}{2x - 3} $

Ответ: $ - \frac{2x - 1}{2x - 3} $