Страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

41. Запишите в виде периодической дроби число:

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0,5 = 0,5(0);$

$\frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6)$

$4 = 4,(0);$

$2,000... \div 3 = 0,666...$

а) 7 = ....................

б) 8,3 = ....................

в) $\frac{2}{9} =$ ....................

г) $\frac{4}{9} =$ ....................

д) $\frac{25}{99} =$ ....................

е) $\frac{17}{99} =$ ....................

а) 7 Любое целое число можно представить в виде периодической дроби, записав его как десятичную дробь с бесконечным количеством нулей после запятой. Периодом такой дроби будет 0. Таким образом, $7 = 7,000... = 7,(0)$. Ответ: $7,(0)$

б) 8,3 Конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической дроби, дописав в дробной части бесконечное количество нулей. Периодом в этом случае будет 0. Таким образом, $8,3 = 8,3000... = 8,3(0)$. Ответ: $8,3(0)$

в) $\frac{2}{9}$ Чтобы представить обыкновенную дробь в виде периодической, нужно разделить числитель на знаменатель. При делении 2 на 9 столбиком получается бесконечная десятичная дробь $0,222...$, где цифра 2 повторяется. Это чистая периодическая дробь с периодом 2. Запись: $\frac{2}{9} = 0,(2)$. Ответ: $0,(2)$

г) $\frac{4}{9}$ Аналогично, при делении числителя 4 на знаменатель 9 в результате получается бесконечная дробь $0,444...$ с повторяющейся цифрой 4. Период дроби равен 4. Запись: $\frac{4}{9} = 0,(4)$. Ответ: $0,(4)$

д) $\frac{25}{99}$ Чтобы представить дробь $\frac{25}{99}$ в виде периодической, разделим 25 на 99. Деление столбиком дает $0,252525...$ . Повторяющаяся группа цифр (период) — это 25. Запись: $\frac{25}{99} = 0,(25)$. Ответ: $0,(25)$

е) $\frac{17}{99}$ Разделим 17 на 99. В результате деления столбиком получаем $0,171717...$. Повторяющейся группой цифр (периодом) является 17. Запись: $\frac{17}{99} = 0,(17)$. Ответ: $0,(17)$

249*. Докажите тождество:

а) $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)};$

Доказательство. Преобразуем левую часть равенства:

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) = $

$=\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \dots$

б) $\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{2}{(x+1)(x+3)}.$

a) Требуется доказать тождество: $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Этот метод основан на представлении дроби вида $ \frac{1}{A(A+1)} $ в виде разности двух более простых дробей: $ \frac{1}{A} - \frac{1}{A+1} $. Проверим это: $ \frac{1}{A} - \frac{1}{A+1} = \frac{A+1-A}{A(A+1)} = \frac{1}{A(A+1)} $.

Применим это правило к каждому слагаемому в левой части тождества:

Первое слагаемое: $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} $.

Второе слагаемое: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $.

Теперь подставим эти выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Заметим, что $ -\frac{1}{x+1} $ и $ +\frac{1}{x+1} $ взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} $.

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю $ x(x+2) $:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{1 \cdot (x+2)}{x(x+2)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+2)} = \frac{x+2-x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} $.

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности совпадающее с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется доказать тождество: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{2}{(x+1)(x+3)} $.

Докажем это тождество, используя тот же метод, что и в пункте а). Преобразуем левую часть равенства.

Разложим каждую дробь на разность двух простейших дробей:

Первое слагаемое: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $.

Второе слагаемое: $ \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} $.

Подставим эти разложения в левую часть равенства:

$ \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right) $.

Раскрыв скобки, мы видим, что средние члены $ -\frac{1}{x+2} $ и $ +\frac{1}{x+2} $ сокращаются:

$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3} $.

Теперь приведем полученное выражение к общему знаменателю $ (x+1)(x+3) $:

$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3} = \frac{1 \cdot (x+3)}{(x+1)(x+3)} - \frac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+3)-(x+1)}{(x+1)(x+3)} $.

Упростим числитель:

$ \frac{x+3-x-1}{(x+1)(x+3)} = \frac{2}{(x+1)(x+3)} $.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства, что и доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.