Страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

44. Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

$x = 0,(1),$ $x = 0,(13),$ $x = 0,(751),$

$x = 0,111...,$ $x = 0,131313...,$ $x = 0,751751...,$

$10x = 1,111...,$ $100x = 13,131313...,$ $1000x = 751,751751...,$

$10x - x = 1,$ $100x - x = 13,$ $1000x - x = 751,$

$9x = 1,$ $99x = 13,$ $999x = 751,$

$x = \frac{1}{9};$ $x = \frac{13}{99};$ $x = \frac{751}{999}.$

а) $x = 0,(2)$;

б) $x = 0,(3)$;

в) $x = 0,(14)$;

г) $x = 0,(43)$;

д) $x = 0,(359)$;

е) $x = 0,(740).$

а) $x = 0,(2)$

Пусть $x = 0,(2)$. Это чистая периодическая дробь, которую можно записать как бесконечную десятичную дробь:

$x = 0,222...$

Так как в периоде дроби одна цифра, умножим обе части этого равенства на 10:

$10x = 2,222...$

Теперь вычтем из второго равенства первое. При этом бесконечные дробные части взаимно уничтожатся:

$10x - x = 2,222... - 0,222...$

$9x = 2$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$.

б) $x = 0,(3)$

Пусть $x = 0,(3)$. Запишем в виде бесконечной дроби:

$x = 0,333...$

Период дроби состоит из одной цифры, поэтому умножим уравнение на 10:

$10x = 3,333...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 3,333... - 0,333...$

$9x = 3$

Находим $x$ и сокращаем полученную дробь:

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) $x = 0,(14)$

Пусть $x = 0,(14)$. Запишем в развернутом виде:

$x = 0,141414...$

Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100:

$100x = 14,141414...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 14,141414... - 0,141414...$

$99x = 14$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{14}{99}$

Ответ: $\frac{14}{99}$.

г) $x = 0,(43)$

Пусть $x = 0,(43)$. Запишем в виде бесконечной дроби:

$x = 0,434343...$

Период дроби состоит из двух цифр, поэтому умножим уравнение на 100:

$100x = 43,434343...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 43,434343... - 0,434343...$

$99x = 43$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{43}{99}$

Ответ: $\frac{43}{99}$.

д) $x = 0,(359)$

Пусть $x = 0,(359)$. Запишем в виде бесконечной дроби:

$x = 0,359359...$

Период дроби состоит из трех цифр, поэтому умножим уравнение на 1000:

$1000x = 359,359359...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - x = 359,359359... - 0,359359...$

$999x = 359$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{359}{999}$

Ответ: $\frac{359}{999}$.

е) $x = 0,(740)$

Пусть $x = 0,(740)$. Запишем в виде бесконечной дроби:

$x = 0,740740...$

Период дроби состоит из трех цифр, поэтому умножим уравнение на 1000:

$1000x = 740,740740...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - x = 740,740740... - 0,740740...$

$999x = 740$

Находим $x$:

$x = \frac{740}{999}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Разложим числитель и знаменатель на множители. $740 = 74 \cdot 10 = 2 \cdot 37 \cdot 10 = 20 \cdot 37$. Знаменатель $999 = 9 \cdot 111 = 9 \cdot 3 \cdot 37 = 27 \cdot 37$. Общий множитель равен 37. Сократим дробь на 37:

$x = \frac{740 \div 37}{999 \div 37} = \frac{20}{27}$

Ответ: $\frac{20}{27}$.

253. Вычислите:

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

a) $3^{-2} = \ldots$

б) $4^{-2} = \ldots$

в) $(\frac{1}{2})^2 = \ldots$

г) $(\frac{1}{3})^2 = \ldots$

д) $(\frac{1}{4})^2 = \ldots$

а) Для вычисления степени с отрицательным показателем используется формула $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Применяя эту формулу, получаем:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

в) Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби по формуле $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Применяем правило возведения дроби в степень, как в пункте в):
$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

д) Используем то же правило возведения дроби в степень:
$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

254. Соедините стрелками равные числа:

$5^{-3}$ $2^{-4}$ $5^{-2}$ $(\frac{2}{5})^{-2}$ $(\frac{5}{2})^{-2}$

$\frac{1}{5^2}$ $\frac{1}{5^3}$ $(\frac{2}{5})^2$ $\frac{1}{2^4}$ $(\frac{5}{2})^2$

Чтобы соединить равные числа, необходимо преобразовать выражения в верхнем ряду, используя свойства степеней, и найти им соответствие в нижнем ряду.

Основные свойства, которые мы будем использовать:

• Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

• Дробь в отрицательной степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$

Рассмотрим каждое число из верхнего ряда по порядку.

$5^{-3}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применяя это правило, получаем:

$5^{-3} = \frac{1}{5^3}$

В нижнем ряду есть такое же число.

Ответ: $5^{-3} = \frac{1}{5^3}$

$2^{-4}$

Используем то же свойство: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Для данного числа имеем:

$2^{-4} = \frac{1}{2^4}$

Это значение также присутствует в нижнем ряду.

Ответ: $2^{-4} = \frac{1}{2^4}$

$5^{-2}$

Снова применяем правило для степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Получаем:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2}$

Находим соответствующее число в нижнем ряду.

Ответ: $5^{-2} = \frac{1}{5^2}$

$(\frac{2}{5})^{-2}$

Здесь мы имеем дело с дробью в отрицательной степени. Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Нужно "перевернуть" дробь и поменять знак показателя степени на положительный.

$(\frac{2}{5})^{-2} = (\frac{5}{2})^2$

Это выражение есть в нижнем ряду.

Ответ: $(\frac{2}{5})^{-2} = (\frac{5}{2})^2$

$(\frac{5}{2})^{-2}$

Аналогично предыдущему пункту, применяем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Преобразуем выражение:

$(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2$

Находим это выражение в нижнем ряду.

Ответ: $(\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2$

255. Запишите в виде степени:

а) $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

б) $3^4 \cdot 3^{-2} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

в) $3^{-4} \cdot 3^2 = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

г) $3^{-4} \cdot 3^{-2} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

д) $5^4 : 5^2 = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

е) $5^4 : 5^{-2} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

ж) $5^{-4} : 5^2 = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

з) $5^{-4} : 5^{-2} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

и) $(7^2)^3 = 7^{2 \cdot 3} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

к) $(7^{-2})^3 = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

л) $(7^2)^{-3} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

м) $(7^{-2})^{-3} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

а) В примере уже показан первый шаг решения. Он основан на свойстве умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Основание нужно оставить прежним, а показатели степеней сложить.
Завершаем вычисление: $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$.
Ответ: $3^6$

б) Используем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), но с отрицательным показателем.
$3^4 \cdot 3^{-2} = 3^{4+(-2)} = 3^{4-2} = 3^2$.
Ответ: $3^2$

в) Снова применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3^{-4} \cdot 3^2 = 3^{-4+2} = 3^{-2}$.
Ответ: $3^{-2}$

г) Умножаем степени с одинаковым основанием, где оба показателя — отрицательные числа.
$3^{-4} \cdot 3^{-2} = 3^{-4+(-2)} = 3^{-4-2} = 3^{-6}$.
Ответ: $3^{-6}$

д) Для деления степеней с одинаковым основанием используется свойство: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
Применяем это правило: $5^4 : 5^2 = 5^{4-2} = 5^2$.
Ответ: $5^2$

е) Используем правило деления степеней с одинаковым основанием, где показатель делителя — отрицательное число.
$5^4 : 5^{-2} = 5^{4-(-2)} = 5^{4+2} = 5^6$.
Ответ: $5^6$

ж) Применяем правило деления степеней, где показатель делимого — отрицательное число.
$5^{-4} : 5^2 = 5^{-4-2} = 5^{-6}$.
Ответ: $5^{-6}$

з) Применяем правило деления степеней, где оба показателя — отрицательные числа.
$5^{-4} : 5^{-2} = 5^{-4-(-2)} = 5^{-4+2} = 5^{-2}$.
Ответ: $5^{-2}$

и) В этом примере также показан первый шаг. При возведении степени в степень используется свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
Завершаем вычисление: $(7^2)^3 = 7^{2 \cdot 3} = 7^6$.
Ответ: $7^6$

к) Используем правило возведения степени в степень ($ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $), где внутренний показатель — отрицательное число.
$(7^{-2})^3 = 7^{-2 \cdot 3} = 7^{-6}$.
Ответ: $7^{-6}$

л) Применяем то же правило возведения степени в степень, но теперь внешний показатель — отрицательное число.
$(7^2)^{-3} = 7^{2 \cdot (-3)} = 7^{-6}$.
Ответ: $7^{-6}$

м) Применяем правило возведения степени в степень, где оба показателя — отрицательные числа.
$(7^{-2})^{-3} = 7^{(-2) \cdot (-3)} = 7^6$.
Ответ: $7^6$