Номер 44, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

2.3. Периодические десятичные дроби. 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Часть 1 - номер 44, страница 21.

Условие.

44. Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

$x = 0,(1),$ $x = 0,(13),$ $x = 0,(751),$

$x = 0,111...,$ $x = 0,131313...,$ $x = 0,751751...,$

$10x = 1,111...,$ $100x = 13,131313...,$ $1000x = 751,751751...,$

$10x - x = 1,$ $100x - x = 13,$ $1000x - x = 751,$

$9x = 1,$ $99x = 13,$ $999x = 751,$

$x = \frac{1}{9};$ $x = \frac{13}{99};$ $x = \frac{751}{999}.$

а) $x = 0,(2)$;

б) $x = 0,(3)$;

в) $x = 0,(14)$;

г) $x = 0,(43)$;

д) $x = 0,(359)$;

е) $x = 0,(740).$

Решение.

Решение 2.

а) $x = 0,(2)$

Пусть $x = 0,(2)$. Это чистая периодическая дробь, которую можно записать как бесконечную десятичную дробь:

$x = 0,222...$

Так как в периоде дроби одна цифра, умножим обе части этого равенства на 10:

$10x = 2,222...$

Теперь вычтем из второго равенства первое. При этом бесконечные дробные части взаимно уничтожатся:

$10x - x = 2,222... - 0,222...$

$9x = 2$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$.

б) $x = 0,(3)$

Пусть $x = 0,(3)$. Запишем в виде бесконечной дроби:

$x = 0,333...$

Период дроби состоит из одной цифры, поэтому умножим уравнение на 10:

$10x = 3,333...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 3,333... - 0,333...$

$9x = 3$

Находим $x$ и сокращаем полученную дробь:

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) $x = 0,(14)$

Пусть $x = 0,(14)$. Запишем в развернутом виде:

$x = 0,141414...$

Поскольку в периоде две цифры, умножим обе части уравнения на 100:

$100x = 14,141414...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 14,141414... - 0,141414...$

$99x = 14$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{14}{99}$

Ответ: $\frac{14}{99}$.

г) $x = 0,(43)$

Пусть $x = 0,(43)$. Запишем в виде бесконечной дроби:

$x = 0,434343...$

Период дроби состоит из двух цифр, поэтому умножим уравнение на 100:

$100x = 43,434343...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - x = 43,434343... - 0,434343...$

$99x = 43$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{43}{99}$

Ответ: $\frac{43}{99}$.

д) $x = 0,(359)$

Пусть $x = 0,(359)$. Запишем в виде бесконечной дроби:

$x = 0,359359...$

Период дроби состоит из трех цифр, поэтому умножим уравнение на 1000:

$1000x = 359,359359...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - x = 359,359359... - 0,359359...$

$999x = 359$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{359}{999}$

Ответ: $\frac{359}{999}$.

е) $x = 0,(740)$

Пусть $x = 0,(740)$. Запишем в виде бесконечной дроби:

$x = 0,740740...$

Период дроби состоит из трех цифр, поэтому умножим уравнение на 1000:

$1000x = 740,740740...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - x = 740,740740... - 0,740740...$

$999x = 740$

Находим $x$:

$x = \frac{740}{999}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Разложим числитель и знаменатель на множители. $740 = 74 \cdot 10 = 2 \cdot 37 \cdot 10 = 20 \cdot 37$. Знаменатель $999 = 9 \cdot 111 = 9 \cdot 3 \cdot 37 = 27 \cdot 37$. Общий множитель равен 37. Сократим дробь на 37:

$x = \frac{740 \div 37}{999 \div 37} = \frac{20}{27}$

Ответ: $\frac{20}{27}$.