Номер 43, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

2.3. Периодические десятичные дроби. 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Часть 1 - номер 43, страница 20.

Условие.

43. Запишите обыкновенную дробь в виде периодической дроби:

$\frac{1}{3} = \frac{3}{9} = 0,(3);$

$\frac{3}{11} = \frac{27}{99} = 0,(27);$

$\frac{5}{90} = 0,0(5);$

5,000... | 90

450 | 0,0555...

----------

500

450

----------

500

...

a) $\frac{2}{11} = \text{...}$

б) $\frac{10}{11} = \text{...}$

в) $\frac{5}{33} = \text{...}$

г) $\frac{28}{33} = \text{...}$

д) $\frac{7}{90} = \text{...}$

e) $\frac{8}{90} = \text{...}$

ж) $\frac{23}{990} = \text{...}$

з) $\frac{125}{999} = \text{...}$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить дробь $\frac{2}{11}$ в виде периодической, можно либо разделить числитель на знаменатель столбиком, либо привести дробь к знаменателю, состоящему из девяток. Приведем дробь к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 9: $\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{18}{99}$. Дробь вида $\frac{ab}{99}$ равна периодической дроби $0,(ab)$. Таким образом, $\frac{18}{99} = 0,(18)$.
Ответ: $0,(18)$

б) Аналогично предыдущему пункту, приведем дробь $\frac{10}{11}$ к знаменателю 99. Умножим числитель и знаменатель на 9: $\frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{90}{99}$. Следовательно, $\frac{90}{99} = 0,(90)$.
Ответ: $0,(90)$

в) Чтобы представить дробь $\frac{5}{33}$ в виде периодической, приведем ее к знаменателю 99. Для этого умножим числитель и знаменатель на 3: $\frac{5}{33} = \frac{5 \cdot 3}{33 \cdot 3} = \frac{15}{99}$. Таким образом, $\frac{15}{99} = 0,(15)$.
Ответ: $0,(15)$

г) Приведем дробь $\frac{28}{33}$ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 3: $\frac{28}{33} = \frac{28 \cdot 3}{33 \cdot 3} = \frac{84}{99}$. Следовательно, $\frac{84}{99} = 0,(84)$.
Ответ: $0,(84)$

д) Для дроби $\frac{7}{90}$ знаменатель содержит множители 9 и 10. Такие дроби превращаются в смешанные периодические дроби. Представим дробь в виде $\frac{7}{90} = \frac{1}{10} \cdot \frac{7}{9}$. Так как $\frac{7}{9} = 0,(7)$, то, умножая на $\frac{1}{10}$, мы сдвигаем десятичную запятую на один знак влево: $0,777... \div 10 = 0,0777...$. Это смешанная периодическая дробь, где 0 — предпериод, а 7 — период. Таким образом, $\frac{7}{90} = 0,0(7)$.
Ответ: $0,0(7)$

е) Для дроби $\frac{8}{90}$ можно поступить так же, как и в предыдущем пункте. Представим дробь в виде $\frac{8}{90} = \frac{1}{10} \cdot \frac{8}{9}$. Так как $\frac{8}{9} = 0,(8)$, то $\frac{1}{10} \cdot 0,(8) = 0,0(8)$. Также можно было сначала сократить дробь: $\frac{8}{90} = \frac{4}{45}$. Деление 4 на 45 столбиком также дает $0,0888...=0,0(8)$.
Ответ: $0,0(8)$

ж) Представим дробь $\frac{23}{990}$ в виде произведения: $\frac{23}{990} = \frac{1}{10} \cdot \frac{23}{99}$. Мы знаем, что $\frac{23}{99} = 0,(23)$. Умножая на $\frac{1}{10}$, сдвигаем десятичную запятую на один знак влево: $0,2323... \div 10 = 0,02323...$. Получаем смешанную периодическую дробь, где предпериод равен 0, а период равен 23. Таким образом, $\frac{23}{990} = 0,0(23)$.
Ответ: $0,0(23)$

з) Для дроби $\frac{125}{999}$ знаменатель уже является числом, состоящим из девяток. Дробь со знаменателем 999 и трехзначным числителем $abc$ записывается в виде чистой периодической дроби $0,(abc)$. Следовательно, $\frac{125}{999} = 0,(125)$.
Ответ: $0,(125)$