Номер 48, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

2.3. Периодические десятичные дроби. 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Часть 1 - номер 48, страница 23.

Условие.

48*. Какая цифра стоит на сотом месте после запятой в десятичном разложении дроби $3/7$?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти, какая цифра стоит на сотом месте после запятой в десятичном разложении дроби $\frac{3}{7}$, необходимо сначала преобразовать эту дробь в десятичную. Это можно сделать путем деления числителя на знаменатель (3 на 7) столбиком.

Выполним деление:
$3 \div 7 = 0,428571428571...$

В результате деления мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь. Последовательность цифр после запятой повторяется. Найдем период этой дроби (повторяющуюся группу цифр).

$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2) - остаток 3 повторился, значит, начался новый цикл.

Таким образом, десятичное разложение дроби $\frac{3}{7}$ имеет вид $0,(428571)$. Повторяющаяся группа цифр (период) — это $428571$. Длина этого периода составляет 6 цифр.

Нам нужно найти цифру, которая стоит на 100-м месте после запятой. Поскольку последовательность цифр периодически повторяется с периодом 6, для нахождения 100-й цифры нужно определить, какой по счету в периоде она будет. Для этого разделим 100 на длину периода 6 с остатком.

$100 \div 6 = 16$ (остаток 4)

Это означает, что полный период $428571$ повторится 16 раз, и после этого нужно будет отсчитать еще 4 цифры из этого периода. Остаток от деления (4) указывает на порядковый номер искомой цифры в периоде.

Найдем 4-ю цифру в периоде $428571$:
1-я цифра — 4
2-я цифра — 2
3-я цифра — 8
4-я цифра — 5

Следовательно, на сотом месте после запятой в десятичном разложении дроби $\frac{3}{7}$ стоит цифра 5.

Ответ: 5