Номер 46, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

2.3. Периодические десятичные дроби. 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Часть 1 - номер 46, страница 23.

Условие.

46*. Докажите равенство:

$0,(9) = 1,$

$x = 0,(9),$

$x = 0,999\dots,$

$10x = 9,999\dots,$

$10x - x = 9,$

$9x = 9,$

$x = 1$

a) $2,(9) = 3;$

...

...

...

...

...

б) $3,1(9) = 3,2.$

...

...

...

...

...

Решение.

Решение 2.

а)

Для доказательства равенства $2,(9) = 3$ воспользуемся методом, показанным в примере.

Пусть $x = 2,(9)$. Это периодическая дробь, которую можно записать как $x = 2,999...$

Умножим обе части этого уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо.

$10x = 29,999...$

Теперь вычтем из полученного уравнения исходное:

$10x - x = 29,999... - 2,999...$

В левой части получим $9x$. В правой части бесконечные дробные части взаимно уничтожаются: $29 - 2 = 27$.

$9x = 27$

Найдем $x$, разделив обе части на 9:

$x = \frac{27}{9} = 3$

Так как мы изначально приняли $x = 2,(9)$, то мы доказали, что $2,(9) = 3$.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $3,1(9) = 3,2$ применим тот же алгебраический подход.

Пусть $x = 3,1(9)$. Это смешанная периодическая дробь, которую можно записать как $x = 3,1999...$

Сначала умножим уравнение на 10, чтобы "освободить" периодическую часть.

$10x = 31,999...$

Теперь умножим уравнение $10x = 31,999...$ еще на 10, чтобы сдвинуть запятую за первый повторяющийся знак.

$100x = 319,999...$

Вычтем из последнего уравнения предыдущее:

$100x - 10x = 319,999... - 31,999...$

В левой части получим $90x$. В правой части дробные части сократятся: $319 - 31 = 288$.

$90x = 288$

Найдем $x$:

$x = \frac{288}{90}$

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную:

$x = 288 \div 90 = 3,2$

Таким образом, мы доказали, что $3,1(9) = 3,2$.

Ответ: Равенство доказано.