Номер 51, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Часть 1 - номер 51, страница 25.

Условие.

51. Сравните числа:

$-0,1(41) = -0,(14);$

$-0,(5) > -\frac{7}{9};$

$-0,(21) < -0,(12)$

a) $-1,(7) □ \frac{1}{7};$

б) $-\frac{8}{9} □ -\frac{9}{8};$

в) $0 □ -0,(1234);$

г) $4,(5) □ -5,(4);$

д) $-0,(3) □ -\frac{1}{3};$

е) $-\frac{5}{99} □ -0,(04);$

ж) $-\frac{10}{99} □ -0,(1);$

з) $\frac{26}{99} □ 0,26;$

и) $-\frac{25}{99} □ -0,25.$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сравнить числа $-1,(7)$ и $-1\frac{1}{7}$, сначала переведем периодическую дробь в обыкновенную.

Пусть $x = 1,(7) = 1,777...$

$10x = 17,777...$

$10x - x = 17,777... - 1,777...$

$9x = 16$

$x = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$

Следовательно, $-1,(7) = -1\frac{7}{9}$.

Теперь сравним $-1\frac{7}{9}$ и $-1\frac{1}{7}$. Так как числа отрицательные, сначала сравним их модули: $1\frac{7}{9}$ и $1\frac{1}{7}$. Сравним дробные части $\frac{7}{9}$ и $\frac{1}{7}$. Приведем их к общему знаменателю 63:

$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{49}{63}$

$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{9}{63}$

Так как $\frac{49}{63} > \frac{9}{63}$, то $1\frac{7}{9} > 1\frac{1}{7}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-1\frac{7}{9} < -1\frac{1}{7}$.

Значит, $-1,(7) < -1\frac{1}{7}$.

Ответ: <

б) Сравним числа $-\frac{8}{9}$ и $-\frac{9}{8}$.

Сначала сравним их модули: $\frac{8}{9}$ и $\frac{9}{8}$.

Дробь $\frac{8}{9}$ является правильной, так как числитель меньше знаменателя, поэтому $\frac{8}{9} < 1$.

Дробь $\frac{9}{8}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя, поэтому $\frac{9}{8} > 1$.

Следовательно, $\frac{8}{9} < \frac{9}{8}$.

Так как мы сравниваем отрицательные числа, то знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{8}{9} > -\frac{9}{8}$.

Ответ: >

в) Сравним числа $0$ и $-0,(1234)$.

Любое положительное число (и ноль) больше любого отрицательного числа. Число $-0,(1234)$ является отрицательным.

Следовательно, $0 > -0,(1234)$.

Ответ: >

г) Сравним числа $4,(5)$ и $-5,(4)$.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Число $4,(5)$ является положительным, а число $-5,(4)$ — отрицательным.

Следовательно, $4,(5) > -5,(4)$.

Ответ: >

д) Сравним числа $-0,(3)$ и $-\frac{1}{3}$.

Переведем периодическую дробь $0,(3)$ в обыкновенную.

Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$

$10x = 3,333...$

$10x - x = 3,333... - 0,333...$

$9x = 3$

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Следовательно, $-0,(3) = -\frac{1}{3}$. Числа равны.

Ответ: =

е) Сравним числа $-\frac{5}{99}$ и $-0,(04)$.

Переведем периодическую дробь $0,(04)$ в обыкновенную.

Пусть $x = 0,(04) = 0,0404...$

$100x = 4,0404...$

$100x - x = 4,0404... - 0,0404...$

$99x = 4$

$x = \frac{4}{99}$

Следовательно, $-0,(04) = -\frac{4}{99}$.

Теперь сравним дроби $-\frac{5}{99}$ и $-\frac{4}{99}$. Сначала сравним их модули: $\frac{5}{99}$ и $\frac{4}{99}$.

Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители: $5 > 4$, значит $\frac{5}{99} > \frac{4}{99}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется: $-\frac{5}{99} < -\frac{4}{99}$.

Ответ: <

ж) Сравним числа $-\frac{10}{99}$ и $-0,(1)$.

Переведем периодическую дробь $0,(1)$ в обыкновенную. $0,(1) = \frac{1}{9}$.

Следовательно, нам нужно сравнить $-\frac{10}{99}$ и $-\frac{1}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 99:

$-\frac{1}{9} = -\frac{1 \cdot 11}{9 \cdot 11} = -\frac{11}{99}$.

Теперь сравним $-\frac{10}{99}$ и $-\frac{11}{99}$. Сравним их модули: $\frac{10}{99}$ и $\frac{11}{99}$.

Так как $10 < 11$, то $\frac{10}{99} < \frac{11}{99}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется: $-\frac{10}{99} > -\frac{11}{99}$.

Ответ: >

з) Сравним числа $\frac{26}{99}$ и $0,26$.

Переведем обыкновенную дробь в периодическую: $\frac{26}{99} = 0,262626... = 0,(26)$.

Теперь сравним $0,(26)$ и $0,26$.

$0,(26) = 0,2626...$

$0,26 = 0,2600...$

Сравнивая по разрядам, видим, что в разряде тысячных у первого числа стоит цифра 2, а у второго 0. Так как $2 > 0$, то $0,(26) > 0,26$.

Следовательно, $\frac{26}{99} > 0,26$.

Ответ: >

и) Сравним числа $-\frac{25}{99}$ и $-0,25$.

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-0,25 = -\frac{25}{100}$.

Теперь сравним $-\frac{25}{99}$ и $-\frac{25}{100}$. Сначала сравним их модули: $\frac{25}{99}$ и $\frac{25}{100}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $99 < 100$, то $\frac{25}{99} > \frac{25}{100}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{25}{99} < -\frac{25}{100}$.

Следовательно, $-\frac{25}{99} < -0,25$.

Ответ: <