Номер 56, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

3.1. Иррациональные числа. 3.2. Понятие действительного числа. Параграф 3. Действительные числа. Часть 1 - номер 56, страница 26.

Условие.

56*. Какая цифра стоит на сто первом месте после запятой в десятичной записи иррационального числа при сохранении правила его записи?

а) 0,101101110111011...

б) 0,1011001110001110...

Решение.

Решение 2.

a) Проанализируем правило записи данного иррационального числа: $0,10110111011110...$
Последовательность цифр после запятой можно разбить на блоки. Блоки состоят из группы единиц, за которой следует один ноль. Количество единиц в каждом следующем блоке увеличивается на одну.

• 1-й блок: $10$ (одна единица и один ноль), длина 2.
• 2-й блок: $110$ (две единицы и один ноль), длина 3.
• 3-й блок: $1110$ (три единицы и один ноль), длина 4.
• k-й блок: состоит из $k$ единиц и одного нуля, его длина равна $k+1$.

Чтобы найти цифру на 101-м месте, нам нужно определить, в каком блоке находится эта цифра. Для этого найдем общую длину первых $n$ блоков. Длина $L_n$ равна сумме длин первых $n$ блоков:
$L_n = \sum_{k=1}^{n} (k+1) = (\sum_{k=1}^{n} k) + (\sum_{k=1}^{n} 1) = \frac{n(n+1)}{2} + n$.
Нам нужно найти такое $n$, что $L_n < 101 \le L_{n+1}$.
Подберем значение $n$. Предположим, $n=12$. $L_{12} = \frac{12(12+1)}{2} + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} + 12 = 6 \cdot 13 + 12 = 78 + 12 = 90$.
Теперь вычислим для $n=13$:
$L_{13} = \frac{13(13+1)}{2} + 13 = \frac{13 \cdot 14}{2} + 13 = 13 \cdot 7 + 13 = 91 + 13 = 104$.
Так как $90 < 101 \le 104$, 101-я цифра находится в 13-м блоке.
Первые 12 блоков содержат 90 цифр. Значит, нам нужна $(101 - 90) = 11$-я цифра 13-го блока.
13-й блок по правилу состоит из 13 единиц, за которыми следует один ноль: $11111111111110$.
Первые 13 цифр этого блока — единицы. Так как нам нужна 11-я цифра блока, это будет 1.
Ответ: 1

б) Проанализируем правило записи данного иррационального числа: $0,10110011100011110...$
Последовательность цифр после запятой можно разбить на блоки. Каждый блок состоит из группы единиц, за которой следует группа нулей. Количество единиц и нулей в каждом следующем блоке увеличивается на одно.

• 1-й блок: $10$ (одна единица и один ноль), длина 2.
• 2-й блок: $1100$ (две единицы и два нуля), длина 4.
• 3-й блок: $111000$ (три единицы и три нуля), длина 6.
• k-й блок: состоит из $k$ единиц и $k$ нулей, его длина равна $2k$.

Чтобы найти цифру на 101-м месте, определим, в каком блоке она находится. Найдем общую длину первых $n$ блоков. Длина $L_n$ равна сумме длин первых $n$ блоков:
$L_n = \sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n} k = 2 \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
Нам нужно найти такое $n$, что $L_n < 101 \le L_{n+1}$.
Подберем значение $n$. Предположим, $n=9$. $L_9 = 9(9+1) = 9 \cdot 10 = 90$.
Теперь вычислим для $n=10$:
$L_{10} = 10(10+1) = 10 \cdot 11 = 110$.
Так как $90 < 101 \le 110$, 101-я цифра находится в 10-м блоке.
Первые 9 блоков содержат 90 цифр. Значит, нам нужна $(101 - 90) = 11$-я цифра 10-го блока.
10-й блок по правилу состоит из 10 единиц, за которыми следуют 10 нулей: $11111111110000000000$.
Первые 10 цифр этого блока — единицы. Следующие 10 цифр (с 11-й по 20-ю) — нули.
Так как нам нужна 11-я цифра блока, это будет 0.
Ответ: 0