Номер 60, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Часть 1 - номер 60, страница 27.

Условие.

60. Сравните действительные числа:

$0,(41) > 0,41$; $-0,(53) < -0,53$; $0,(21) > -0,(21)$

а) $1,(5) \square 1,5$;

б) $1,(5) \square -1,(5)$;

в) $-1,(5) \square -1,5$;

г) $5,(5) \square 5\frac{5}{9}$;

д) $-2,(7) \square -2\frac{7}{9}$;

е) $-\frac{98}{99} \square -\frac{99}{98}$.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сравнить числа $1,(5)$ и $1,5$, представим их в развернутом виде. Число $1,(5)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $1,555...$. Число $1,5$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $1,500...$. Сравниваем эти числа поразрядно, слева направо. Целые части равны: $1 = 1$. Разряд десятых также равен: $5 = 5$. В разряде сотых у числа $1,555...$ стоит цифра $5$, а у числа $1,500...$ стоит цифра $0$. Поскольку $5 > 0$, то и число $1,555...$ больше, чем $1,500...$. Следовательно, $1,(5) > 1,5$.
Ответ: $1,(5) > 1,5$.

б) Сравним числа $1,(5)$ и $-1,(5)$. Число $1,(5)$ является положительным. Число $-1,(5)$ является отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $1,(5) > -1,(5)$.
Ответ: $1,(5) > -1,(5)$.

в) Сравним числа $-1,(5)$ и $-1,5$. Сначала сравним модули этих чисел: $|-1,(5)| = 1,(5)$ и $|-1,5| = 1,5$. Из пункта а) известно, что $1,(5) > 1,5$. При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Поскольку $|-1,(5)| > |-1,5|$, то $-1,(5) < -1,5$. Иначе говоря, $-1,555...$ находится на числовой оси левее, чем $-1,5$, а значит, оно меньше.
Ответ: $-1,(5) < -1,5$.

г) Сравним числа $5,(5)$ и $5\frac{5}{9}$. Для сравнения преобразуем периодическую дробь $5,(5)$ в обыкновенную. Пусть $x = 5,(5) = 5,555...$. Умножим на $10$: $10x = 55,555...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 55,555... - 5,555...$ $9x = 50$ $x = \frac{50}{9}$ Теперь преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{50}{9} = 5\frac{5}{9}$. Таким образом, мы получили, что $5,(5) = 5\frac{5}{9}$.
Ответ: $5,(5) = 5\frac{5}{9}$.

д) Сравним числа $-2,(7)$ и $-2\frac{7}{9}$. Сначала сравним модули этих чисел: $|-2,(7)| = 2,(7)$ и $|-2\frac{7}{9}| = 2\frac{7}{9}$. Преобразуем периодическую дробь $2,(7)$ в обыкновенную. Пусть $x = 2,(7) = 2,777...$. $10x = 27,777...$. $10x - x = 27,777... - 2,777...$ $9x = 25$ $x = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$. Поскольку модули чисел равны, $2,(7) = 2\frac{7}{9}$, то и сами отрицательные числа равны.
Ответ: $-2,(7) = -2\frac{7}{9}$.

е) Сравним числа $-\frac{98}{99}$ и $-\frac{99}{98}$. Сначала сравним модули этих чисел, то есть положительные дроби $\frac{98}{99}$ и $\frac{99}{98}$. Дробь $\frac{98}{99}$ является правильной, так как числитель меньше знаменателя ($98 < 99$). Значение правильной дроби всегда меньше $1$. Дробь $\frac{99}{98}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя ($99 > 98$). Значение неправильной дроби (не равной $1$) всегда больше $1$. Следовательно, $\frac{98}{99} < 1 < \frac{99}{98}$, откуда $\frac{98}{99} < \frac{99}{98}$. При сравнении отрицательных чисел большим является то, у которого модуль меньше. Так как $|\ -\frac{98}{99}\ | < |\ -\frac{99}{98}\ |$, то $-\frac{98}{99} > -\frac{99}{98}$.
Ответ: $-\frac{98}{99} > -\frac{99}{98}$.