Номер 66, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

3.4. Основные свойства действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Часть 1 - номер 66, страница 29.

Условие.

66. Укажите число, заключённое между данными числами:

a) $3,4 < \text{.......} < 3,5;$

б) $3,(4) < \text{.......} < 3,(5);$

в) $-3,(5) < \text{.......} < -3,(4);$

г) $-3,5 < \text{.......} < 3,4.$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти число, заключённое между $3,4$ и $3,5$, мы можем увеличить количество знаков после запятой у данных чисел, не изменяя их значения. Представим $3,4$ как $3,40$ и $3,5$ как $3,50$. Теперь неравенство выглядит так: $3,40 < \dots < 3,50$. Между этими числами легко найти другое, например, добавив сотую долю. Любое число от $3,41$ до $3,49$ подойдёт. Возьмем, к примеру, $3,45$.
Проверяем: $3,4 < 3,45$ и $3,45 < 3,5$, что верно.
Ответ: $3,45$.

б) Нам нужно найти число, расположенное между двумя бесконечными периодическими дробями $3,(4)$ и $3,(5)$.
Запишем эти дроби в развернутом виде:
$3,(4) = 3,4444\dots$
$3,(5) = 3,5555\dots$
Мы ищем число $x$, для которого выполняется неравенство $3,4444\dots < x < 3,5555\dots$.
Сравним числа по разрядам. У первого числа в разряде десятых стоит 4, у второго — 5. Мы можем выбрать число, у которого в разряде десятых 4, а в разряде сотых — цифра больше 4 (например, $3,45$). Или мы можем выбрать число, у которого в разряде десятых стоит 5, но сотые и последующие разряды меньше, чем у $3,(5)$ (например, $3,51$ или просто $3,5$).
Возьмём простое конечное десятичное число $3,5$.
$3,4444\dots < 3,5$ (сравнение по разряду десятых: $4 < 5$).
$3,5 < 3,5555\dots$ (сравнение по разряду сотых: $0 < 5$, если считать $3,5$ как $3,5000\dots$).
Таким образом, число $3,5$ подходит.
Ответ: $3,5$.

в) Необходимо найти число между $-3,(5)$ и $-3,(4)$.
Речь идёт об отрицательных числах. Для отрицательных чисел действует правило: чем больше модуль числа, тем оно меньше.
Запишем модули данных чисел:
$|-3,(5)| = 3,(5) = 3,5555\dots$
$|-3,(4)| = 3,(4) = 3,4444\dots$
Поскольку $3,4444\dots < 3,5555\dots$, для отрицательных чисел неравенство будет иметь обратный знак: $-3,4444\dots > -3,5555\dots$.
Итак, мы ищем число $x$, которое удовлетворяет условию $-3,(5) < x < -3,(4)$.
Возьмём в качестве кандидата число $-3,5$. Его модуль равен $|-3,5| = 3,5$.
Сравним модули: $3,4444\dots < 3,5 < 3,5555\dots$.
Поскольку для модулей (положительных чисел) выполняется $3,(4) < 3,5 < 3,(5)$, то для соответствующих отрицательных чисел будет выполняться $-3,(4) > -3,5 > -3,(5)$. Это то же самое, что и $-3,(5) < -3,5 < -3,(4)$. Значит, число $-3,5$ подходит.
Ответ: $-3,5$.

г) Требуется найти число, которое находится между $-3,5$ и $3,4$.
Здесь нам нужно найти число, которое больше отрицательного числа и меньше положительного. Любое такое число будет находиться между ними на числовой оси. Самый простой и очевидный пример такого числа — это ноль.
Проверим неравенство:
$-3,5 < 0$ — верно.
$0 < 3,4$ — верно.
Следовательно, $0$ является числом, заключённым между $-3,5$ и $3,4$. Другими примерами могут быть любые целые числа от $-3$ до $3$, например, $1, -2$ и т.д.
Ответ: $0$.