Номер 71, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

3.4. Основные свойства действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Часть 1 - номер 71, страница 30.

Условие.

71. Докажите, что $(a^m)^n = (a^n)^m$, где $a$ — любое действительное число, $m$ и $n$ — любые натуральные числа.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства равенства $(a^m)^n = (a^n)^m$, где $a$ — любое действительное число, а $m$ и $n$ — любые натуральные числа, воспользуемся основным определением степени с натуральным показателем.

Степень числа $a$ с натуральным показателем $k$, обозначаемая как $a^k$, представляет собой произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $a$:

$a^k = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{k \text{ раз}}$

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $(a^m)^n$.

Согласно определению, это выражение означает, что основание $a^m$ умножается само на себя $n$ раз:

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ раз}}$

Теперь раскроем каждый сомножитель $a^m$. Он, в свою очередь, является произведением $m$ множителей, равных $a$:

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}$

Подставив это в предыдущее выражение, получим произведение, состоящее из $n$ групп, в каждой из которых по $m$ множителей $a$:

$(a^m)^n = \underbrace{(\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot \ldots \cdot (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}})}_{n \text{ групп}}$

Чтобы найти общее количество множителей $a$, нужно умножить количество множителей в одной группе ($m$) на количество таких групп ($n$). Таким образом, общее число множителей равно $m \cdot n$. Это означает, что левая часть равенства равна $a^{m \cdot n}$.

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $(a^n)^m$.

Действуя аналогично, представим это выражение как произведение $m$ множителей, равных $a^n$:

$(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}}$

Раскроем каждый сомножитель $a^n$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Подставим это в выражение для правой части:

$(a^n)^m = \underbrace{(\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot \ldots \cdot (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}})}_{m \text{ групп}}$

Общее число множителей $a$ в этом случае равно произведению числа множителей в группе ($n$) на количество групп ($m$), то есть $n \cdot m$. Это означает, что правая часть равенства равна $a^{n \cdot m}$.

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Теперь сравним результаты, полученные для левой и правой частей:

Левая часть: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Правая часть: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Поскольку умножение натуральных чисел коммутативно (то есть от перемены мест множителей произведение не меняется), имеем $m \cdot n = n \cdot m$.

Следовательно, $a^{m \cdot n} = a^{n \cdot m}$, а значит и $(a^m)^n = (a^n)^m$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $a^{m \cdot n}$ (или, что то же самое, $a^{n \cdot m}$), исходя из определения степени и свойства коммутативности умножения.