Номер 61, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Часть 1 - номер 61, страница 28.

Условие.

61. Впишите конечную десятичную дробь так, чтобы было верно двойное неравенство:

а) $0,(7) < \dots < 0,(8)$;

б) $0,(27) < \dots < 0,(28)$;

в) $0,(344) < \dots < 0,(345)$;

г) $0,(2017) < \dots < 0,(2018)$.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти конечную десятичную дробь, которая удовлетворяет неравенству $0,(7) < x < 0,(8)$, сначала представим периодические дроби в развернутом виде. Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определённая группа цифр. В нашем случае:

$0,(7) = 0,7777...$

$0,(8) = 0,8888...$

Таким образом, исходное неравенство можно записать как: $0,7777... < x < 0,8888...$.

Нам нужно найти любую конечную десятичную дробь, которая больше $0,7777...$ и меньше $0,8888...$. Самый простой способ — взять число, которое находится между $0,7$ и $0,8$. Например, число $0,8$. Проверим, подходит ли оно.

1. Сравним $0,(7)$ и $0,8$. Так как первая цифра после запятой у $0,(7)$ это 7, а у $0,8$ это 8, и $7 < 8$, то $0,(7) < 0,8$.

2. Сравним $0,8$ и $0,(8)$. $0,8$ можно записать как $0,8000...$. У числа $0,(8) = 0,8888...$ первая цифра после запятой такая же (8), но вторая цифра (8) больше, чем у $0,8000...$ (0). Значит, $0,8 < 0,(8)$.

Оба неравенства верны, следовательно, $0,8$ — подходящее число.

Ответ: 0,8

б) Рассмотрим двойное неравенство $0,(27) < x < 0,(28)$.

Представим периодические дроби в развернутом виде:

$0,(27) = 0,272727...$

$0,(28) = 0,282828...$

Неравенство принимает вид: $0,272727... < x < 0,282828...$.

Искомая конечная десятичная дробь $x$ должна быть больше $0,272727...$ и меньше $0,282828...$. Мы видим, что левая граница начинается с $0,27$, а правая — с $0,28$. Возьмем конечную дробь $0,28$.

1. Сравним $0,(27)$ и $0,28$. $0,2727... < 0,2800...$, так как на второй позиции после запятой $7 < 8$.

2. Сравним $0,28$ и $0,(28)$. $0,2800... < 0,2828...$, так как на третьей позиции после запятой $0 < 2$.

Оба неравенства выполняются. Значит, $0,28$ является верным решением.

Ответ: 0,28

в) Рассмотрим двойное неравенство $0,(344) < x < 0,(345)$.

Развернем периодические дроби:

$0,(344) = 0,344344...$

$0,(345) = 0,345345...$

Получаем неравенство: $0,344344... < x < 0,345345...$.

Нужно найти конечную десятичную дробь $x$, которая находится между этими двумя числами. Левая граница начинается с $0,344$, а правая — с $0,345$. Возьмем конечную дробь $0,345$.

1. Сравним $0,(344)$ и $0,345$. $0,344344... < 0,345000...$, так как на третьей позиции после запятой $4 < 5$.

2. Сравним $0,345$ и $0,(345)$. $0,345000... < 0,345345...$, так как на четвертой позиции после запятой $0 < 3$.

Оба неравенства верны, поэтому число $0,345$ является подходящим решением.

Ответ: 0,345

г) Рассмотрим двойное неравенство $0,(2017) < x < 0,(2018)$.

Развернем периодические дроби:

$0,(2017) = 0,20172017...$

$0,(2018) = 0,20182018...$

Неравенство в развернутом виде: $0,20172017... < x < 0,20182018...$.

Ищем конечную десятичную дробь $x$ между этими значениями. Левая граница начинается с $0,2017$, а правая — с $0,2018$. Возьмем конечную дробь $0,2018$.

1. Сравним $0,(2017)$ и $0,2018$. $0,20172017... < 0,20180000...$, так как на четвертой позиции после запятой $7 < 8$.

2. Сравним $0,2018$ и $0,(2018)$. $0,20180000... < 0,20182018...$, так как на пятой позиции после запятой $0 < 2$.

Оба неравенства верны, следовательно, $0,2018$ — это правильный ответ.

Ответ: 0,2018