Номер 59, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

3.1. Иррациональные числа. 3.2. Понятие действительного числа. Параграф 3. Действительные числа. Часть 1 - номер 59, страница 27.

Условие.

59. Докажите, что для любого действительного числа a верно неравенство $|a| \ge a$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства неравенства $|a| \ge a$ необходимо рассмотреть все возможные случаи для действительного числа $a$, основываясь на определении модуля (абсолютной величины).

Определение модуля числа $a$ выглядит следующим образом:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Число $a$ неотрицательно, то есть $a \ge 0$.

В этом случае, согласно определению модуля, $|a| = a$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$a \ge a$

Это неравенство верно, так как выполняется условие равенства. Следовательно, для всех $a \ge 0$ утверждение доказано.

Случай 2: Число $a$ отрицательно, то есть $a < 0$.

В этом случае, согласно определению модуля, $|a| = -a$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$-a \ge a$

Поскольку по условию этого случая $a$ — отрицательное число, то $-a$ будет положительным числом. Например, если $a = -5$, то $-a = 5$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому неравенство $-a > a$ для $a < 0$ всегда верно. Из этого следует, что и нестрогое неравенство $-a \ge a$ также является верным.

Мы рассмотрели все возможные действительные числа (неотрицательные и отрицательные) и в каждом из случаев показали, что неравенство $|a| \ge a$ справедливо.

Ответ: Утверждение доказано, так как неравенство $|a| \ge a$ выполняется для всех действительных чисел $a$.