Номер 54, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

3.1. Иррациональные числа. 3.2. Понятие действительного числа. Параграф 3. Действительные числа. Часть 1 - номер 54, страница 26.

Условие.

54*. Докажите, что бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя записать в виде дроби $\frac{p}{q}$.

Решение.

Решение 2.

Данное утверждение доказывается методом от противного. Для этого докажем обратное (контрапозитивное) утверждение: любую обыкновенную дробь $p/q$ (где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное) можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Если это утверждение верно, то и исходное утверждение будет верным.

Для того чтобы перевести обыкновенную дробь $p/q$ в десятичную, необходимо разделить числитель $p$ на знаменатель $q$ в столбик.

В процессе деления на каждом шаге мы получаем остаток. Этот остаток должен быть меньше делителя $q$. Таким образом, возможными остатками при делении на $q$ являются целые числа: $0, 1, 2, ..., q-1$. Всего существует $q$ различных возможных остатков.

Далее возможны два сценария:

1. На каком-то шаге деления остаток становится равным 0. В этом случае процесс деления завершается. Результатом является конечная десятичная дробь. Например, при переводе дроби $3/8$ в десятичную ($3 \div 8$), мы получаем $0.375$ и остаток $0$, на этом деление заканчивается.

2. Остаток никогда не становится равным 0. В этом случае процесс деления продолжается бесконечно. Однако, поскольку количество возможных ненулевых остатков ограничено (их $q-1$, а именно $1, 2, ..., q-1$), то по принципу Дирихле, не позднее чем на $q$-м шаге деления (после запятой), один из остатков обязательно повторится. Как только какой-либо остаток повторяется, то и последующие за ним цифры в частном начнут повторяться в той же последовательности, образуя период. Например, при делении $1$ на $3$ ($1/3$) остаток $1$ повторяется на каждом шаге, что дает бесконечную дробь $0.333...$ или $0.(3)$. При делении $4$ на $11$ ($4/11$) остатки будут $7, 4, 7, 4, ...$, что приводит к дроби $0.3636...$ или $0.(36)$.

Таким образом, мы показали, что любая дробь вида $p/q$ всегда обращается либо в конечную, либо в бесконечную периодическую десятичную дробь.

Поскольку мы доказали контрапозитивное утверждение, то и исходное утверждение верно. Если десятичная дробь является бесконечной и непериодической, она не может быть результатом деления $p$ на $q$ и, следовательно, не может быть записана в виде дроби $p/q$.

Ответ: Доказательство основано на анализе процесса деления в столбик числителя $p$ на знаменатель $q$. Количество возможных остатков при делении на $q$ конечно и равно $q$. Если в процессе деления появляется остаток 0, дробь является конечной. Если остаток 0 никогда не появляется, то, по принципу Дирихле, один из ненулевых остатков ($1, 2, ..., q-1$) неизбежно повторится. Повторение остатка приводит к повторению последовательности цифр в частном, то есть к образованию периода. Следовательно, любая дробь вида $p/q$ представляется в виде конечной или периодической десятичной дроби, а значит, бесконечную непериодическую десятичную дробь в таком виде представить нельзя.