Номер 47, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

2.3. Периодические десятичные дроби. 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Часть 1 - номер 47, страница 23.

Условие.

47. Докажите равенство:

а) $0.0\overline{10} = 0.\overline{01}$;

б) $0.5\overline{45} = 0.\overline{54}$;

в) $0.\overline{77} = 0.\overline{7}$.

Решение.

Решение 2.

а) Для доказательства равенства $0,0(10) = 0,(01)$ преобразуем обе периодические дроби в обыкновенные.

Левая часть $0,0(10)$ является смешанной периодической дробью. Чтобы обратить её в обыкновенную дробь, нужно из числа, стоящего после запятой, включая один период (010), вычесть число, стоящее после запятой до периода (0). Результат будет числителем. В знаменателе нужно написать столько девяток, сколько цифр в периоде (две), и приписать столько нулей, сколько цифр после запятой до периода (одна).
$0,0(10) = \frac{10 - 0}{990} = \frac{10}{990} = \frac{1}{99}$.

Правая часть $0,(01)$ является чистой периодической дробью. Чтобы обратить её в обыкновенную дробь, нужно в числитель записать период (01), а в знаменатель — число, состоящее из такого же количества девяток, сколько цифр в периоде (две).
$0,(01) = \frac{1}{99}$.

Так как обе части равенства равны $\frac{1}{99}$, равенство доказано.
Ответ: Равенство $0,0(10) = 0,(01)$ доказано.

б) Для доказательства равенства $0,5(45) = 0,(54)$ преобразуем обе части в обыкновенные дроби.

Левая часть $0,5(45)$ является смешанной периодической дробью. Применим то же правило, что и в пункте а). В числитель запишем разность $545 - 5$, а в знаменатель — две девятки и один ноль.
$0,5(45) = \frac{545 - 5}{990} = \frac{540}{990} = \frac{54}{99}$.

Правая часть $0,(54)$ является чистой периодической дробью. В числитель запишем период (54), а в знаменатель — две девятки.
$0,(54) = \frac{54}{99}$.

Так как обе части равенства равны $\frac{54}{99}$, равенство доказано. Также можно было заметить, что десятичное разложение обеих дробей идентично: $0.545454...$
Ответ: Равенство $0,5(45) = 0,(54)$ доказано.

в) Для доказательства равенства $0,(77) = 0,(7)$ преобразуем обе части в обыкновенные дроби.

Левая часть $0,(77)$ является чистой периодической дробью с периодом "77".
$0,(77) = \frac{77}{99} = \frac{7 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{7}{9}$.

Правая часть $0,(7)$ является чистой периодической дробью с периодом "7".
$0,(7) = \frac{7}{9}$.

Так как обе части равенства равны $\frac{7}{9}$, равенство доказано. Также можно заметить, что $0,(77) = 0.7777...$ и $0,(7) = 0.7777...$, то есть их десятичные разложения совпадают.
Ответ: Равенство $0,(77) = 0,(7)$ доказано.