Номер 45, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

2.3. Периодические десятичные дроби. 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Часть 1 - номер 45, страница 22.

Условие.

45*. Запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

$x = 0,0(7),$

$x = 0,0777...$

$10x = 0,777...$

$100x = 7,777...$

$100x - 10x = 7,$

$90x = 7,$

$x = \frac{7}{90};$

$x = 0,5(7),$

$x = 0,5777...$

$10x = 5,777...$

$100x = 57,777...$

$100x - 10x = 52,$

$90x = 52,$

$x = \frac{52}{90}$

a) $x = 0,0(25);$

б) $x = 0,00(5);$

в) $x = 0,12(4);$

г) $x = 0,1(24).$

Решение.

Решение 2.

а) $x = 0,0(25)$

Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $x = 0,0252525...$

Чтобы избавиться от периодической части, нам нужно составить два уравнения, вычитание которых уберет бесконечный "хвост" дроби. Сначала умножим $x$ на такое число, чтобы запятая оказалась сразу перед периодом. Непериодическая часть '0' состоит из одной цифры, поэтому умножим на 10.

$10x = 0,252525...$

Теперь умножим $x$ на такое число, чтобы запятая сдвинулась вправо ровно на один период. Период '25' состоит из двух цифр, а перед ним одна непериодическая цифра '0'. Значит, нужно сдвинуть запятую на $1+2=3$ знака. Умножим $x$ на 1000.

$1000x = 25,252525...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы дробные части взаимно уничтожились:

$1000x - 10x = 25,252525... - 0,252525...$

$990x = 25$

Найдем $x$:

$x = \frac{25}{990}$

Сократим полученную дробь на 5:

$x = \frac{25 \div 5}{990 \div 5} = \frac{5}{198}$

Ответ: $\frac{5}{198}$

б) $x = 0,00(5)$

Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $x = 0,00555...$

Умножим $x$ на 100, чтобы запятая оказалась сразу перед периодом. Непериодическая часть '00' состоит из двух цифр.

$100x = 0,555...$

Теперь умножим $x$ на 1000, чтобы запятая сдвинулась вправо ровно на один период. Период '5' состоит из одной цифры, а перед ним две цифры '00'. Значит, нужно сдвинуть запятую на $2+1=3$ знака.

$1000x = 5,555...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 100x = 5,555... - 0,555...$

$900x = 5$

Найдем $x$:

$x = \frac{5}{900}$

Сократим дробь на 5:

$x = \frac{5 \div 5}{900 \div 5} = \frac{1}{180}$

Ответ: $\frac{1}{180}$

в) $x = 0,12(4)$

Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $x = 0,12444...$

Умножим $x$ на 100, чтобы запятая оказалась сразу перед периодом. Непериодическая часть '12' состоит из двух цифр.

$100x = 12,444...$

Теперь умножим $x$ на 1000, чтобы запятая сдвинулась вправо ровно на один период. Период '4' состоит из одной цифры, а перед ним две цифры '12'. Значит, нужно сдвинуть запятую на $2+1=3$ знака.

$1000x = 124,444...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 100x = 124,444... - 12,444...$

$900x = 112$

Найдем $x$:

$x = \frac{112}{900}$

Сократим дробь на 4:

$x = \frac{112 \div 4}{900 \div 4} = \frac{28}{225}$

Ответ: $\frac{28}{225}$

г) $x = 0,1(24)$

Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $x = 0,1242424...$

Умножим $x$ на 10, чтобы запятая оказалась сразу перед периодом. Непериодическая часть '1' состоит из одной цифры.

$10x = 1,242424...$

Теперь умножим $x$ на 1000, чтобы запятая сдвинулась вправо ровно на один период. Период '24' состоит из двух цифр, а перед ним одна цифра '1'. Значит, нужно сдвинуть запятую на $1+2=3$ знака.

$1000x = 124,242424...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$1000x - 10x = 124,242424... - 1,242424...$

$990x = 123$

Найдем $x$:

$x = \frac{123}{990}$

Сократим дробь на 3, так как сумма цифр числителя ($1+2+3=6$) и знаменателя ($9+9+0=18$) делится на 3:

$x = \frac{123 \div 3}{990 \div 3} = \frac{41}{330}$

Ответ: $\frac{41}{330}$