Номер 50, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Часть 1 - номер 50, страница 24.

Условие.

50. Запишите периодическую дробь в виде рационального числа:

$-0,1(0) = -0,1 = -\frac{1}{10}$; $-0,(6) = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$; $-0,0(17) = -\frac{17}{990}$

а) $-1,(8) = ...$

б) $-8,(1) = ...$

в) $-2,(29) = ...$

г) $-4,(25) = ...$

д) $-0,(31) = ...$

е) $-2,(178) = ...$

ж) $-1,(011) = ...$

з) $-5,(100) = ...$

и) $-1,(010) = ...$

к) $-3,(416) = ...$

Решение.

Решение 2.

а)

Представим периодическую дробь $-1,(8)$ в виде суммы целой и дробной частей: $-(1 + 0,(8))$.Пусть $x = 0,(8) = 0,888...$Умножим на 10, так как в периоде одна цифра: $10x = 8,888...$Вычтем исходное уравнение: $10x - x = 8,888... - 0,888...$, что дает $9x = 8$.Отсюда $x = \frac{8}{9}$.Таким образом, $-1,(8) = -(1 + \frac{8}{9}) = -1\frac{8}{9} = -\frac{17}{9}$.
Ответ: $-\frac{17}{9}$

б)

Представим дробь $-8,(1)$ как $-(8 + 0,(1))$.Пусть $x = 0,(1)$. Тогда $10x = 1,(1)$.$10x - x = 1,(1) - 0,(1)$, что дает $9x = 1$, откуда $x = \frac{1}{9}$.Следовательно, $-8,(1) = -(8 + \frac{1}{9}) = -8\frac{1}{9} = -\frac{73}{9}$.
Ответ: $-\frac{73}{9}$

в)

Представим $-2,(29)$ как $-(2 + 0,(29))$.Пусть $x = 0,(29)$. Период состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 100: $100x = 29,(29)$.$100x - x = 29,(29) - 0,(29)$, что дает $99x = 29$, откуда $x = \frac{29}{99}$.Следовательно, $-2,(29) = -(2 + \frac{29}{99}) = -2\frac{29}{99} = -\frac{2 \cdot 99 + 29}{99} = -\frac{198 + 29}{99} = -\frac{227}{99}$.
Ответ: $-\frac{227}{99}$

г)

Представим $-4,(25)$ как $-(4 + 0,(25))$.Пусть $x = 0,(25)$. В периоде две цифры, умножаем на 100: $100x = 25,(25)$.$100x - x = 25,(25) - 0,(25)$, что дает $99x = 25$, откуда $x = \frac{25}{99}$.Следовательно, $-4,(25) = -(4 + \frac{25}{99}) = -4\frac{25}{99} = -\frac{4 \cdot 99 + 25}{99} = -\frac{396 + 25}{99} = -\frac{421}{99}$.
Ответ: $-\frac{421}{99}$

д)

Пусть $x = -0,(31)$. Тогда $-x = 0,(31) = 0,3131...$Пусть $y = 0,(31)$. В периоде две цифры, умножаем на 100: $100y = 31,(31)$.$100y - y = 31,(31) - 0,(31)$, что дает $99y = 31$, откуда $y = \frac{31}{99}$.Значит, $x = -y = -\frac{31}{99}$.
Ответ: $-\frac{31}{99}$

е)

Представим $-2,(178)$ как $-(2 + 0,(178))$.Пусть $x = 0,(178)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 178,(178)$.$1000x - x = 178,(178) - 0,(178)$, что дает $999x = 178$, откуда $x = \frac{178}{999}$.Следовательно, $-2,(178) = -(2 + \frac{178}{999}) = -2\frac{178}{999} = -\frac{2 \cdot 999 + 178}{999} = -\frac{1998 + 178}{999} = -\frac{2176}{999}$.
Ответ: $-\frac{2176}{999}$

ж)

Представим $-1,(011)$ как $-(1 + 0,(011))$.Пусть $x = 0,(011)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 11,(011)$.$1000x - x = 11,(011) - 0,(011)$, что дает $999x = 11$, откуда $x = \frac{11}{999}$.Следовательно, $-1,(011) = -(1 + \frac{11}{999}) = -1\frac{11}{999} = -\frac{999 + 11}{999} = -\frac{1010}{999}$.
Ответ: $-\frac{1010}{999}$

з)

Представим $-5,(100)$ как $-(5 + 0,(100))$.Пусть $x = 0,(100)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 100,(100)$.$1000x - x = 100,(100) - 0,(100)$, что дает $999x = 100$, откуда $x = \frac{100}{999}$.Следовательно, $-5,(100) = -(5 + \frac{100}{999}) = -5\frac{100}{999} = -\frac{5 \cdot 999 + 100}{999} = -\frac{4995 + 100}{999} = -\frac{5095}{999}$.
Ответ: $-\frac{5095}{999}$

и)

Представим $-1,(010)$ как $-(1 + 0,(010))$.Пусть $x = 0,(010)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 10,(010)$.$1000x - x = 10,(010) - 0,(010)$, что дает $999x = 10$, откуда $x = \frac{10}{999}$.Следовательно, $-1,(010) = -(1 + \frac{10}{999}) = -1\frac{10}{999} = -\frac{999 + 10}{999} = -\frac{1009}{999}$.
Ответ: $-\frac{1009}{999}$

к)

Представим $-3,(416)$ как $-(3 + 0,(416))$.Пусть $x = 0,(416)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 416,(416)$.$1000x - x = 416,(416) - 0,(416)$, что дает $999x = 416$, откуда $x = \frac{416}{999}$.Следовательно, $-3,(416) = -(3 + \frac{416}{999}) = -3\frac{416}{999} = -\frac{3 \cdot 999 + 416}{999} = -\frac{2997 + 416}{999} = -\frac{3413}{999}$.
Ответ: $-\frac{3413}{999}$