Номер 63, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

63. Для положительных чисел $a$ и $b$ верно неравенство $a < b$. Сравните числа:

а) $a$ $0$;

б) $-a$ $0$;

в) $-b$ $a$;

г) $-a$ $b$;

д) $-b$ $-a$;

е) $-b$ $b$;

ж) $-a$ $-b$;

з) $-\vert b \vert$ $-\vert a \vert$.

По условию даны положительные числа $a$ и $b$, для которых выполняется неравенство $a < b$. Это означает, что $a > 0$ и $b > 0$. Для сравнения чисел в каждом пункте будем использовать эти начальные данные и свойства числовых неравенств.

а) Сравнить $a$ и $0$.

Поскольку по условию число $a$ является положительным, оно по определению больше нуля.

Ответ: $a > 0$.

б) Сравнить $-a$ и $0$.

Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), то при умножении его на $-1$ мы получим отрицательное число. Любое отрицательное число меньше нуля. $a > 0$ $a \cdot (-1) < 0 \cdot (-1)$ $-a < 0$

Ответ: $-a < 0$.

в) Сравнить $-b$ и $a$.

По условию $a$ и $b$ — положительные числа. Следовательно, $a > 0$ и $-b < 0$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.

Ответ: $-b < a$.

г) Сравнить $-a$ и $b$.

По условию $a$ и $b$ — положительные числа. Следовательно, $-a < 0$ и $b > 0$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.

Ответ: $-a < b$.

д) Сравнить $-b$ и $-a$.

Возьмем исходное неравенство $a < b$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. Согласно свойству неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. $a < b$ $a \cdot (-1) > b \cdot (-1)$ $-a > -b$ Это же неравенство можно записать как $-b < -a$.

Ответ: $-b < -a$.

е) Сравнить $-b$ и $b$.

По условию $b$ — положительное число ($b > 0$), значит $-b$ — отрицательное число ($-b < 0$). Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Ответ: $-b < b$.

ж) Сравнить $-a$ и $-b$.

Это задание аналогично пункту д). Возьмем исходное неравенство $a < b$ и умножим обе его части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный. $a < b \implies -a > -b$.

Ответ: $-a > -b$.

з) Сравнить $-|b|$ и $-|a|$.

Поскольку числа $a$ и $b$ положительные, их модуль равен самим этим числам: $|a| = a$ и $|b| = b$. Таким образом, сравнение выражений $-|b|$ и $-|a|$ сводится к сравнению $-b$ и $-a$. Как было показано в пункте д), из неравенства $a < b$ следует, что $-a > -b$. Следовательно, $-|a| > -|b|$, что равносильно $-|b| < -|a|$.

Ответ: $-|b| < -|a|$.