Страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

49. Запишите рациональное число в виде периодической дроби:

$- \frac{1}{2} = -0,5 = -0,5(0);$ $- \frac{4}{9} = -0,(4);$ $- \frac{4}{99} = -0,(04)$

а) $- \frac{3}{4} = \dots$

б) $- \frac{7}{9} = \dots$

в) $- \frac{25}{99} = \dots$

г) $- \frac{25}{33} = \dots$

д) $- \frac{2}{3} = \dots$

е) $- \frac{4}{11} = \dots$

ж) $- \frac{5}{3} = \dots$

з) $- \frac{12}{11} = \dots$

и) $- \frac{37}{33} = \dots$

к) $- \frac{121}{999} = \dots$

а) Чтобы представить обыкновенную дробь в виде периодической, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Дробь $-\frac{3}{4}$ является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической, дописав в периоде 0.
$-\frac{3}{4} = -0,75 = -0,75000... = -0,75(0)$.
Ответ: $-0,75(0)$.

б) Выполним деление числителя на знаменатель для дроби $-\frac{7}{9}$.
$7 \div 9 = 0,777...$. Цифра 7 повторяется бесконечно.
Следовательно, $-\frac{7}{9} = -0,(7)$.
Ответ: $-0,(7)$.

в) Выполним деление числителя на знаменатель для дроби $-\frac{25}{99}$.
$25 \div 99 = 0,252525...$. Группа цифр "25" является периодом дроби.
Следовательно, $-\frac{25}{99} = -0,(25)$.
Ответ: $-0,(25)$.

г) Для дроби $-\frac{25}{33}$ выполним деление $25 \div 33$.
$25 \div 33 = 0,757575...$. Периодом является группа цифр "75".
Можно также привести дробь к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 3: $-\frac{25 \times 3}{33 \times 3} = -\frac{75}{99} = -0,(75)$.
Ответ: $-0,(75)$.

д) Выполним деление числителя на знаменатель для дроби $-\frac{2}{3}$.
$2 \div 3 = 0,666...$. Цифра 6 является периодом.
Следовательно, $-\frac{2}{3} = -0,(6)$.
Ответ: $-0,(6)$.

е) Для дроби $-\frac{4}{11}$ выполним деление $4 \div 11$.
$4 \div 11 = 0,363636...$. Периодом является группа цифр "36".
Можно также привести дробь к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 9: $-\frac{4 \times 9}{11 \times 9} = -\frac{36}{99} = -0,(36)$.
Ответ: $-0,(36)$.

ж) Дробь $-\frac{5}{3}$ является неправильной. Выделим целую часть: $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Мы знаем, что $\frac{2}{3} = 0,(6)$.
Таким образом, $-1\frac{2}{3} = -(1 + \frac{2}{3}) = -(1 + 0,(6)) = -1,(6)$.
Или выполним деление $5 \div 3 = 1,666...$.
Ответ: $-1,(6)$.

з) Дробь $-\frac{12}{11}$ является неправильной. Выделим целую часть: $-\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11}$.
Преобразуем дробную часть $\frac{1}{11}$ в десятичную дробь: $1 \div 11 = 0,090909... = 0,(09)$.
Таким образом, $-1\frac{1}{11} = -(1 + \frac{1}{11}) = -(1 + 0,(09)) = -1,(09)$.
Ответ: $-1,(09)$.

и) Дробь $-\frac{37}{33}$ является неправильной. Выделим целую часть: $-\frac{37}{33} = -1\frac{4}{33}$.
Преобразуем дробную часть $\frac{4}{33}$ в десятичную дробь: $4 \div 33 = 0,121212... = 0,(12)$.
Таким образом, $-1\frac{4}{33} = -(1 + \frac{4}{33}) = -(1 + 0,(12)) = -1,(12)$.
Ответ: $-1,(12)$.

к) Выполним деление числителя на знаменатель для дроби $-\frac{121}{999}$.
$121 \div 999 = 0,121121121...$. Группа цифр "121" является периодом.
Следовательно, $-\frac{121}{999} = -0,(121)$.
Ответ: $-0,(121)$.

50. Запишите периодическую дробь в виде рационального числа:

$-0,1(0) = -0,1 = -\frac{1}{10}$; $-0,(6) = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$; $-0,0(17) = -\frac{17}{990}$

а) $-1,(8) = ...$

б) $-8,(1) = ...$

в) $-2,(29) = ...$

г) $-4,(25) = ...$

д) $-0,(31) = ...$

е) $-2,(178) = ...$

ж) $-1,(011) = ...$

з) $-5,(100) = ...$

и) $-1,(010) = ...$

к) $-3,(416) = ...$

а)

Представим периодическую дробь $-1,(8)$ в виде суммы целой и дробной частей: $-(1 + 0,(8))$.Пусть $x = 0,(8) = 0,888...$Умножим на 10, так как в периоде одна цифра: $10x = 8,888...$Вычтем исходное уравнение: $10x - x = 8,888... - 0,888...$, что дает $9x = 8$.Отсюда $x = \frac{8}{9}$.Таким образом, $-1,(8) = -(1 + \frac{8}{9}) = -1\frac{8}{9} = -\frac{17}{9}$.
Ответ: $-\frac{17}{9}$

б)

Представим дробь $-8,(1)$ как $-(8 + 0,(1))$.Пусть $x = 0,(1)$. Тогда $10x = 1,(1)$.$10x - x = 1,(1) - 0,(1)$, что дает $9x = 1$, откуда $x = \frac{1}{9}$.Следовательно, $-8,(1) = -(8 + \frac{1}{9}) = -8\frac{1}{9} = -\frac{73}{9}$.
Ответ: $-\frac{73}{9}$

в)

Представим $-2,(29)$ как $-(2 + 0,(29))$.Пусть $x = 0,(29)$. Период состоит из двух цифр, поэтому умножаем на 100: $100x = 29,(29)$.$100x - x = 29,(29) - 0,(29)$, что дает $99x = 29$, откуда $x = \frac{29}{99}$.Следовательно, $-2,(29) = -(2 + \frac{29}{99}) = -2\frac{29}{99} = -\frac{2 \cdot 99 + 29}{99} = -\frac{198 + 29}{99} = -\frac{227}{99}$.
Ответ: $-\frac{227}{99}$

г)

Представим $-4,(25)$ как $-(4 + 0,(25))$.Пусть $x = 0,(25)$. В периоде две цифры, умножаем на 100: $100x = 25,(25)$.$100x - x = 25,(25) - 0,(25)$, что дает $99x = 25$, откуда $x = \frac{25}{99}$.Следовательно, $-4,(25) = -(4 + \frac{25}{99}) = -4\frac{25}{99} = -\frac{4 \cdot 99 + 25}{99} = -\frac{396 + 25}{99} = -\frac{421}{99}$.
Ответ: $-\frac{421}{99}$

д)

Пусть $x = -0,(31)$. Тогда $-x = 0,(31) = 0,3131...$Пусть $y = 0,(31)$. В периоде две цифры, умножаем на 100: $100y = 31,(31)$.$100y - y = 31,(31) - 0,(31)$, что дает $99y = 31$, откуда $y = \frac{31}{99}$.Значит, $x = -y = -\frac{31}{99}$.
Ответ: $-\frac{31}{99}$

е)

Представим $-2,(178)$ как $-(2 + 0,(178))$.Пусть $x = 0,(178)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 178,(178)$.$1000x - x = 178,(178) - 0,(178)$, что дает $999x = 178$, откуда $x = \frac{178}{999}$.Следовательно, $-2,(178) = -(2 + \frac{178}{999}) = -2\frac{178}{999} = -\frac{2 \cdot 999 + 178}{999} = -\frac{1998 + 178}{999} = -\frac{2176}{999}$.
Ответ: $-\frac{2176}{999}$

ж)

Представим $-1,(011)$ как $-(1 + 0,(011))$.Пусть $x = 0,(011)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 11,(011)$.$1000x - x = 11,(011) - 0,(011)$, что дает $999x = 11$, откуда $x = \frac{11}{999}$.Следовательно, $-1,(011) = -(1 + \frac{11}{999}) = -1\frac{11}{999} = -\frac{999 + 11}{999} = -\frac{1010}{999}$.
Ответ: $-\frac{1010}{999}$

з)

Представим $-5,(100)$ как $-(5 + 0,(100))$.Пусть $x = 0,(100)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 100,(100)$.$1000x - x = 100,(100) - 0,(100)$, что дает $999x = 100$, откуда $x = \frac{100}{999}$.Следовательно, $-5,(100) = -(5 + \frac{100}{999}) = -5\frac{100}{999} = -\frac{5 \cdot 999 + 100}{999} = -\frac{4995 + 100}{999} = -\frac{5095}{999}$.
Ответ: $-\frac{5095}{999}$

и)

Представим $-1,(010)$ как $-(1 + 0,(010))$.Пусть $x = 0,(010)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 10,(010)$.$1000x - x = 10,(010) - 0,(010)$, что дает $999x = 10$, откуда $x = \frac{10}{999}$.Следовательно, $-1,(010) = -(1 + \frac{10}{999}) = -1\frac{10}{999} = -\frac{999 + 10}{999} = -\frac{1009}{999}$.
Ответ: $-\frac{1009}{999}$

к)

Представим $-3,(416)$ как $-(3 + 0,(416))$.Пусть $x = 0,(416)$. В периоде три цифры, умножаем на 1000: $1000x = 416,(416)$.$1000x - x = 416,(416) - 0,(416)$, что дает $999x = 416$, откуда $x = \frac{416}{999}$.Следовательно, $-3,(416) = -(3 + \frac{416}{999}) = -3\frac{416}{999} = -\frac{3 \cdot 999 + 416}{999} = -\frac{2997 + 416}{999} = -\frac{3413}{999}$.
Ответ: $-\frac{3413}{999}$

263. Известно, что 1 нм (нанометр) — это $1 \cdot 10^{-9}$ м. Запишите величины, встречающиеся в тексте, в метрах, дециметрах, сантиметрах и миллиметрах, используя стандартный вид числа.

a) По толщине волосы человека подразделяются на тонкие (менее 0,05 мм в диаметре), средние (0,05–0,07 мм) и толстые, или утолщённые (более 0,07 мм).

0,05 мм = $5 \cdot 10^{-2}$ мм = $5 \cdot 10^{-3}$ см = .........

0,07 мм = .........

б) Данные на компакт-дисках записываются в виде спиральной дорожки из углублений, имеющих примерно 100 нм в глубину и 500 нм в ширину.

100 нм = $100 \cdot 10^{-9}$ м = $1 \cdot 10^{-7}$ м = $1 \cdot 10^{-6}$ дм = .........

500 нм = .........

в) Толщина стенки мыльного пузыря может быть меньше 25 нм.

25 нм = .........

а) Для перевода миллиметров в другие единицы длины используем следующие соотношения: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$, $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.

$0,05 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-2} \text{ мм} = (5 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^{-1} \text{ см} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ см} = (5 \cdot 10^{-3}) \cdot 10^{-1} \text{ дм} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ дм} = (5 \cdot 10^{-4}) \cdot 10^{-1} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}$
Ответ: В метрах: $5 \cdot 10^{-5} \text{ м}$; в дециметрах: $5 \cdot 10^{-4} \text{ дм}$; в сантиметрах: $5 \cdot 10^{-3} \text{ см}$; в миллиметрах: $5 \cdot 10^{-2} \text{ мм}$.

$0,07 \text{ мм} = 7 \cdot 10^{-2} \text{ мм} = (7 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^{-1} \text{ см} = 7 \cdot 10^{-3} \text{ см} = (7 \cdot 10^{-3}) \cdot 10^{-1} \text{ дм} = 7 \cdot 10^{-4} \text{ дм} = (7 \cdot 10^{-4}) \cdot 10^{-1} \text{ м} = 7 \cdot 10^{-5} \text{ м}$
Ответ: В метрах: $7 \cdot 10^{-5} \text{ м}$; в дециметрах: $7 \cdot 10^{-4} \text{ дм}$; в сантиметрах: $7 \cdot 10^{-3} \text{ см}$; в миллиметрах: $7 \cdot 10^{-2} \text{ мм}$.

б) Для перевода нанометров в другие единицы используем соотношение $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$ и стандартные соотношения между метрическими единицами.

$100 \text{ нм} = 100 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 1 \cdot 10^{-7} \text{ м} = (1 \cdot 10^{-7}) \cdot 10 \text{ дм} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ дм} = (1 \cdot 10^{-6}) \cdot 10 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ см} = (1 \cdot 10^{-5}) \cdot 10 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-4} \text{ мм}$
Ответ: В метрах: $1 \cdot 10^{-7} \text{ м}$; в дециметрах: $1 \cdot 10^{-6} \text{ дм}$; в сантиметрах: $1 \cdot 10^{-5} \text{ см}$; в миллиметрах: $1 \cdot 10^{-4} \text{ мм}$.

$500 \text{ нм} = 500 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м} = (5 \cdot 10^{-7}) \cdot 10 \text{ дм} = 5 \cdot 10^{-6} \text{ дм} = (5 \cdot 10^{-6}) \cdot 10 \text{ см} = 5 \cdot 10^{-5} \text{ см} = (5 \cdot 10^{-5}) \cdot 10 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ мм}$
Ответ: В метрах: $5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$; в дециметрах: $5 \cdot 10^{-6} \text{ дм}$; в сантиметрах: $5 \cdot 10^{-5} \text{ см}$; в миллиметрах: $5 \cdot 10^{-4} \text{ мм}$.

в) Выполняем перевод аналогично предыдущему пункту.

$25 \text{ нм} = 25 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 2,5 \cdot 10^{-8} \text{ м} = (2,5 \cdot 10^{-8}) \cdot 10 \text{ дм} = 2,5 \cdot 10^{-7} \text{ дм} = (2,5 \cdot 10^{-7}) \cdot 10 \text{ см} = 2,5 \cdot 10^{-6} \text{ см} = (2,5 \cdot 10^{-6}) \cdot 10 \text{ мм} = 2,5 \cdot 10^{-5} \text{ мм}$
Ответ: В метрах: $2,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}$; в дециметрах: $2,5 \cdot 10^{-7} \text{ дм}$; в сантиметрах: $2,5 \cdot 10^{-6} \text{ см}$; в миллиметрах: $2,5 \cdot 10^{-5} \text{ мм}$.

264. Запишите выражение без отрицательных показателей степеней:

$(a+b)^{-1} = \frac{1}{(a+b)^1} = \frac{1}{a+b}; \quad \frac{1}{(a-5)^{-2}} = \left(\frac{1}{a-5}\right)^{-2} = (a-5)^2$

а) $(a-b)^{-2} = \dots$

б) $a^{-1} + b^{-1} = \dots$

в) $a^{-3} - b^{-3} = \dots$

г) $(a^{-3} + 2^{-3})^{-2} = \dots$

д) $(b^{-2} - 5^{-2})^{-3} = \dots$

е) $\frac{1}{(a+b)^{-2}} = \dots$

ж) $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^{-1} = \dots$

з) $\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{-2} = \dots$

а) Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени в выражении $(a - b)^{-2}$, воспользуемся основным свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Применив это свойство, где в качестве $x$ выступает выражение $(a - b)$, а $n=2$, получаем:
$(a - b)^{-2} = \frac{1}{(a - b)^2}$.
Ответ: $\frac{1}{(a - b)^2}$

б) В выражении $a^{-1} + b^{-1}$ необходимо преобразовать каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}$
$b^{-1} = \frac{1}{b^1} = \frac{1}{b}$
Таким образом, исходное выражение становится суммой двух дробей: $a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $ab$:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b + a}{ab}$.
Ответ: $\frac{a + b}{ab}$

в) Для выражения $a^{-3} - b^{-3}$ применим то же свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для каждого члена выражения.
$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$
$b^{-3} = \frac{1}{b^3}$
Получаем разность дробей: $a^{-3} - b^{-3} = \frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $a^3b^3$:
$\frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3} = \frac{1 \cdot b^3}{a^3 \cdot b^3} - \frac{1 \cdot a^3}{b^3 \cdot a^3} = \frac{b^3 - a^3}{a^3b^3}$.
Ответ: $\frac{b^3 - a^3}{a^3b^3}$

г) В выражении $(a^{-3} + 2^{-3})^{-2}$ сначала преобразуем слагаемые внутри скобок.
$a^{-3} = \frac{1}{a^3}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
Сумма в скобках: $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{8}$. Приводим к общему знаменателю $8a^3$:
$\frac{1}{a^3} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8a^3} + \frac{a^3}{8a^3} = \frac{8 + a^3}{8a^3}$.
Теперь возведем полученную дробь в степень -2, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{8 + a^3}{8a^3})^{-2} = (\frac{8a^3}{8 + a^3})^2 = \frac{(8a^3)^2}{(8 + a^3)^2} = \frac{64a^6}{(a^3 + 8)^2}$.
Ответ: $\frac{64a^6}{(a^3 + 8)^2}$

д) В выражении $(b^{-2} - 5^{-2})^{-3}$ сначала упростим выражение в скобках.
$b^{-2} = \frac{1}{b^2}$
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
Разность в скобках: $\frac{1}{b^2} - \frac{1}{25}$. Приводим к общему знаменателю $25b^2$:
$\frac{1}{b^2} - \frac{1}{25} = \frac{25}{25b^2} - \frac{b^2}{25b^2} = \frac{25 - b^2}{25b^2}$.
Теперь возведем полученную дробь в степень -3, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{25 - b^2}{25b^2})^{-3} = (\frac{25b^2}{25 - b^2})^3 = \frac{(25b^2)^3}{(25 - b^2)^3} = \frac{25^3 (b^2)^3}{(25 - b^2)^3} = \frac{15625b^6}{(25 - b^2)^3}$.
Ответ: $\frac{15625b^6}{(25 - b^2)^3}$

е) Для преобразования выражения $\frac{1}{(a + b)^{-2}}$ воспользуемся свойством $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.
Применив это свойство, где $x = (a+b)$ и $n=2$, получаем:
$\frac{1}{(a + b)^{-2}} = (a + b)^2$.
Ответ: $(a + b)^2$

ж) Для преобразования дроби $(\frac{a + b}{a - b})^{-1}$ используем свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.
В данном случае $n=1$, поэтому дробь "переворачивается":
$(\frac{a + b}{a - b})^{-1} = (\frac{a - b}{a + b})^1 = \frac{a - b}{a + b}$.
Ответ: $\frac{a - b}{a + b}$

з) Для преобразования дроби $(\frac{a - 1}{a + 1})^{-2}$ также используем свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$.
Применим это свойство при $n=2$:
$(\frac{a - 1}{a + 1})^{-2} = (\frac{a + 1}{a - 1})^2$.
Это выражение можно также записать в виде $\frac{(a + 1)^2}{(a - 1)^2}$.
Ответ: $(\frac{a + 1}{a - 1})^2$