Страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

69. Запишите правую часть так, чтобы равенство выражало известное свойство действительных чисел:

а) $a + b = ...$

б) $(a + b) + c = ...$

в) $a \cdot b = ...$

г) $(a \cdot b) \cdot c = ...$

д) $a \cdot (b + c) = ...$

е) $a + 0 = ...$

ж) $a + (-a) = ...$

з) $a + (-b) = ...$

и) $a \cdot 1 = ...$

к) $a \cdot 0 = ...$

л) $-1 \cdot a = ...$

м) $a \cdot \frac{1}{a} = ...$

н) $a \cdot \frac{1}{b} = ...$

а) Данное равенство выражает переместительный (коммутативный) закон сложения. Этот закон гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Таким образом, правая часть равенства должна быть $b + a$.

Равенство: $a + b = b + a$.

Ответ: $b + a$

б) Данное равенство выражает сочетательный (ассоциативный) закон сложения. Он утверждает, что результат сложения трёх и более чисел не зависит от порядка, в котором выполняются операции. Таким образом, правая часть равенства должна быть $a + (b + c)$.

Равенство: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Ответ: $a + (b + c)$

в) Данное равенство выражает переместительный (коммутативный) закон умножения. Согласно этому закону, от перемены мест множителей произведение не меняется. Следовательно, правая часть равенства — это $b \cdot a$.

Равенство: $a \cdot b = b \cdot a$.

Ответ: $b \cdot a$

г) Данное равенство выражает сочетательный (ассоциативный) закон умножения. Результат умножения трёх и более чисел не зависит от того, как сгруппированы множители. Таким образом, правая часть равенства — это $a \cdot (b \cdot c)$.

Равенство: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Ответ: $a \cdot (b \cdot c)$

д) Данное равенство выражает распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Правая часть будет $a \cdot b + a \cdot c$.

Равенство: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Ответ: $a \cdot b + a \cdot c$

е) Это свойство нуля при сложении (существование нейтрального элемента по сложению). Ноль является нейтральным элементом для операции сложения, так как прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Правая часть равенства — это $a$.

Равенство: $a + 0 = a$.

Ответ: $a$

ж) Это свойство противоположного числа (существование обратного элемента по сложению). Сумма любого действительного числа и противоположного ему числа равна нулю. Таким образом, правая часть равна $0$.

Равенство: $a + (-a) = 0$.

Ответ: $0$

з) Это определение операции вычитания. Вычитание числа $b$ из числа $a$ эквивалентно прибавлению к $a$ числа, противоположного $b$. Правая часть будет $a - b$.

Равенство: $a + (-b) = a - b$.

Ответ: $a - b$

и) Это свойство единицы при умножении (существование нейтрального элемента по умножению). Единица является нейтральным элементом для умножения, так как умножение любого числа на единицу не изменяет это число. Правая часть равенства — это $a$.

Равенство: $a \cdot 1 = a$.

Ответ: $a$

к) Это свойство нуля при умножении. Произведение любого действительного числа на ноль равно нулю. Правая часть равенства — это $0$.

Равенство: $a \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$

л) Это свойство умножения на $-1$. Умножение любого числа $a$ на $-1$ дает число, противоположное $a$. Правая часть равенства — это $-a$.

Равенство: $-1 \cdot a = -a$.

Ответ: $-a$

м) Это свойство обратного числа (существование обратного элемента по умножению) для любого ненулевого числа $a$. Произведение числа на обратное ему число равно единице (при $a \neq 0$).

Равенство: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

Ответ: $1$

н) Это определение операции деления. Разделить число $a$ на число $b$ (при $b \neq 0$) — это то же самое, что умножить число $a$ на число, обратное $b$.

Равенство: $a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$

70. Запишите в виде степени:

а) $7^3 \cdot 7^2 = \dots$

б) $5^{13} \cdot 2^{13} = \dots$

в) $(4^3)^2 = \dots$

а) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это правило к заданному выражению, получаем: $7^3 \cdot 7^2 = 7^{3+2} = 7^5$.
Ответ: $7^5$.

б) Чтобы умножить степени с разными основаниями, но одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить без изменений. Это свойство выражается формулой $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Используем это правило для нашего примера: $5^{13} \cdot 2^{13} = (5 \cdot 2)^{13} = 10^{13}$.
Ответ: $10^{13}$.

в) При возведении степени в степень, основание степени остается прежним, а показатели перемножаются. Формула для этого свойства: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим данное правило: $(4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6$.
Ответ: $4^6$.

71. Докажите, что $(a^m)^n = (a^n)^m$, где $a$ — любое действительное число, $m$ и $n$ — любые натуральные числа.

Для доказательства равенства $(a^m)^n = (a^n)^m$, где $a$ — любое действительное число, а $m$ и $n$ — любые натуральные числа, воспользуемся основным определением степени с натуральным показателем.

Степень числа $a$ с натуральным показателем $k$, обозначаемая как $a^k$, представляет собой произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $a$:

$a^k = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{k \text{ раз}}$

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $(a^m)^n$.

Согласно определению, это выражение означает, что основание $a^m$ умножается само на себя $n$ раз:

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ раз}}$

Теперь раскроем каждый сомножитель $a^m$. Он, в свою очередь, является произведением $m$ множителей, равных $a$:

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}$

Подставив это в предыдущее выражение, получим произведение, состоящее из $n$ групп, в каждой из которых по $m$ множителей $a$:

$(a^m)^n = \underbrace{(\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot \ldots \cdot (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}})}_{n \text{ групп}}$

Чтобы найти общее количество множителей $a$, нужно умножить количество множителей в одной группе ($m$) на количество таких групп ($n$). Таким образом, общее число множителей равно $m \cdot n$. Это означает, что левая часть равенства равна $a^{m \cdot n}$.

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $(a^n)^m$.

Действуя аналогично, представим это выражение как произведение $m$ множителей, равных $a^n$:

$(a^n)^m = \underbrace{a^n \cdot a^n \cdot \ldots \cdot a^n}_{m \text{ раз}}$

Раскроем каждый сомножитель $a^n$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Подставим это в выражение для правой части:

$(a^n)^m = \underbrace{(\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}) \cdot \ldots \cdot (\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}})}_{m \text{ групп}}$

Общее число множителей $a$ в этом случае равно произведению числа множителей в группе ($n$) на количество групп ($m$), то есть $n \cdot m$. Это означает, что правая часть равенства равна $a^{n \cdot m}$.

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Теперь сравним результаты, полученные для левой и правой частей:

Левая часть: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Правая часть: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Поскольку умножение натуральных чисел коммутативно (то есть от перемены мест множителей произведение не меняется), имеем $m \cdot n = n \cdot m$.

Следовательно, $a^{m \cdot n} = a^{n \cdot m}$, а значит и $(a^m)^n = (a^n)^m$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано. Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $a^{m \cdot n}$ (или, что то же самое, $a^{n \cdot m}$), исходя из определения степени и свойства коммутативности умножения.

72. Округлите число $\pi = 3,1415926\dots$ с недостатком:

до единиц: $\pi \approx 3$; до десятых: $\pi \approx 3,1$; до сотых: $\pi \approx 3,14$

а) до тысячных: $\pi \approx \ldots \ldots$

б) до десятитысячных: $\pi \approx \ldots \ldots$

в) до стотысячных: $\pi \approx \ldots \ldots$

г) до миллионных: $\pi \approx \ldots \ldots$

Округление числа с недостатком (также называется усечением) — это отбрасывание всех цифр справа от разряда, до которого производится округление. В данном задании нам нужно округлить число $\pi = 3,1415926...$

а) до тысячных:

Чтобы округлить число до тысячных с недостатком, необходимо оставить три цифры после запятой, а все последующие отбросить.

$\pi = 3,141|5926...$

Оставляем цифры до черты: $3,141$.

Ответ: $\pi \approx 3,141$

б) до десятитысячных:

Чтобы округлить число до десятитысячных с недостатком, необходимо оставить четыре цифры после запятой, а все последующие отбросить.

$\pi = 3,1415|926...$

Оставляем цифры до черты: $3,1415$.

Ответ: $\pi \approx 3,1415$

в) до стотысячных:

Чтобы округлить число до стотысячных с недостатком, необходимо оставить пять цифр после запятой, а все последующие отбросить.

$\pi = 3,14159|26...$

Оставляем цифры до черты: $3,14159$.

Ответ: $\pi \approx 3,14159$

г) до миллионных:

Чтобы округлить число до миллионных с недостатком, необходимо оставить шесть цифр после запятой, а все последующие отбросить.

$\pi = 3,141592|6...$

Оставляем цифры до черты: $3,141592$.

Ответ: $\pi \approx 3,141592$

278. Решите линейное уравнение:

а) $5x = x - 8;$

б) $3x = x + 7;$

в) $-4x = x - 2,5.$

$5x - x = -8;$

.............

.............

а) $5x = x - 8$

Для решения этого линейного уравнения необходимо собрать все члены с переменной x в одной части уравнения (обычно в левой), а все числовые члены – в другой (в правой). Для этого перенесем x из правой части в левую, изменив его знак на противоположный.

$5x - x = -8$

Теперь выполним вычитание в левой части уравнения:

$4x = -8$

Чтобы найти значение x, разделим обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на 4:

$x = \frac{-8}{4}$

$x = -2$

Ответ: -2

б) $3x = x + 7$

Перенесем x из правой части в левую с противоположным знаком:

$3x - x = 7$

Упростим левую часть:

$2x = 7$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти x:

$x = \frac{7}{2}$

$x = 3,5$

Ответ: 3,5

в) $-4x = x - 2,5$

Перенесем x из правой части в левую, поменяв его знак:

$-4x - x = -2,5$

Упростим левую часть, сложив коэффициенты при x:

$-5x = -2,5$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на -5. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число.

$x = \frac{-2,5}{-5}$

$x = 0,5$

Ответ: 0,5

279. Решите уравнение:

a) $2x + 1 = 5x - 11$;

$2x - 5x + 1 = -11$;

...

...

б) $5x - 4 = -3x + 3$;

...

...

...

в) $-7x = -3x + 12,4$;

...

...

...

г) $-9x + 4 = -7x - 3$.

...

...

...

а) $2x + 1 = 5x - 11$

Чтобы решить уравнение, мы соберем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а все постоянные (числа) — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$2x - 5x = -11 - 1$

Теперь выполним вычисления в обеих частях уравнения (приведем подобные слагаемые):

$-3x = -12$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-3$:

$x = \frac{-12}{-3}$

$x = 4$

Ответ: 4

б) $5x - 4 = -3x + 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую часть, меняя знаки:

$5x + 3x = 3 + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$8x = 7$

Разделим обе части на 8:

$x = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

в) $-7x = -3x + 12,4$

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$-7x + 3x = 12,4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-4x = 12,4$

Разделим обе части на $-4$:

$x = \frac{12,4}{-4}$

$x = -3,1$

Ответ: -3,1

г) $-9x + 4 = -7x - 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$-9x + 7x = -3 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x = -7$

Разделим обе части на $-2$:

$x = \frac{-7}{-2}$

$x = 3,5$

Ответ: 3,5

280. Решите уравнение:

$2x - 1 = 2x + 13;$

$2x - 2x - 1 = 13;$

$2x - 2x = 13 + 1;$

$0x = 14;$

нет корней

а) $7x + 7 = 7(x + 1);$

б) $4 - 2x = 2(x + 4);$

в) $3(2x + 5) = 2(3x + 8);$

г) $4(5x - 1) = 5(4x + 1) - 9;$

д) $3,5 + 5x = 5(x + 0,7).$

а) $7x + 7 = 7(x + 1)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$7x + 7 = 7 \cdot x + 7 \cdot 1$
$7x + 7 = 7x + 7$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числа - в правую:
$7x - 7x = 7 - 7$
$0 \cdot x = 0$
Данное равенство является тождеством, оно верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

б) $4 - 2x = 2(x + 4)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$4 - 2x = 2x + 8$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую, меняя знаки при переносе:
$-2x - 2x = 8 - 4$
Приведем подобные слагаемые:
$-4x = 4$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -4:
$x = \frac{4}{-4}$
$x = -1$
Ответ: -1.

в) $3(2x + 5) = 2(3x + 8)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3 \cdot 2x + 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3x + 2 \cdot 8$
$6x + 15 = 6x + 16$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числа - в правую:
$6x - 6x = 16 - 15$
$0 \cdot x = 1$
Получили неверное равенство, так как не существует такого числа $x$, при умножении которого на 0 получится 1. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

г) $4(5x - 1) = 5(4x + 1) - 9$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$4 \cdot 5x - 4 \cdot 1 = 5 \cdot 4x + 5 \cdot 1 - 9$
$20x - 4 = 20x + 5 - 9$
Упростим правую часть:
$20x - 4 = 20x - 4$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:
$20x - 20x = -4 + 4$
$0 \cdot x = 0$
Данное равенство является тождеством, оно верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

д) $3,5 + 5x = 5(x + 0,7)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$3,5 + 5x = 5 \cdot x + 5 \cdot 0,7$
$3,5 + 5x = 5x + 3,5$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:
$5x - 5x = 3,5 - 3,5$
$0 \cdot x = 0$
Данное равенство является тождеством, оно верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ - любое число.