Страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

65. Вставьте пропущенный знак:

а) для чисел $a$ и $b$ неверно, что $a = b$ и $a > b$, значит, $a$ $b$;

б) для чисел $a$ и $b$ неверно, что $a = b$ и $a < b$, значит, $a$ $b$;

в) для чисел $a$ и $b$ неверно, что $a < b$ и $a > b$, значит, $a$ $b$.

а) Для любых двух чисел $a$ и $b$ справедливо одно и только одно из трех соотношений: $a < b$ (а меньше b), $a = b$ (а равно b) или $a > b$ (а больше b). Это свойство называется законом трихотомии. В условии сказано, что для чисел $a$ и $b$ неверно, что $a = b$, и неверно, что $a > b$. Это означает, что мы исключаем два из трех возможных вариантов. Если $a$ не равно $b$ и $a$ не больше $b$, то по закону трихотомии остается единственная возможность: $a$ должно быть меньше $b$. Таким образом, пропущенный знак — это «<».
Ответ: $a < b$

б) Используем тот же закон трихотомии. В условии сказано, что для чисел $a$ и $b$ неверно, что $a = b$, и неверно, что $a < b$. Мы исключаем две возможности из трех: равенство и «меньше». Следовательно, для чисел $a$ и $b$ остается только третья возможность: $a$ должно быть больше $b$. Таким образом, пропущенный знак — это «>».
Ответ: $a > b$

в) Снова применяем закон трихотомии. В условии сказано, что для чисел $a$ и $b$ неверно, что $a < b$, и неверно, что $a > b$. Мы исключаем две возможности: «меньше» и «больше». Значит, для чисел $a$ и $b$ остается только одна возможность из трех: они должны быть равны. Таким образом, пропущенный знак — это «=».
Ответ: $a = b$

66. Укажите число, заключённое между данными числами:

a) $3,4 < \text{.......} < 3,5;$

б) $3,(4) < \text{.......} < 3,(5);$

в) $-3,(5) < \text{.......} < -3,(4);$

г) $-3,5 < \text{.......} < 3,4.$

а) Чтобы найти число, заключённое между $3,4$ и $3,5$, мы можем увеличить количество знаков после запятой у данных чисел, не изменяя их значения. Представим $3,4$ как $3,40$ и $3,5$ как $3,50$. Теперь неравенство выглядит так: $3,40 < \dots < 3,50$. Между этими числами легко найти другое, например, добавив сотую долю. Любое число от $3,41$ до $3,49$ подойдёт. Возьмем, к примеру, $3,45$.
Проверяем: $3,4 < 3,45$ и $3,45 < 3,5$, что верно.
Ответ: $3,45$.

б) Нам нужно найти число, расположенное между двумя бесконечными периодическими дробями $3,(4)$ и $3,(5)$.
Запишем эти дроби в развернутом виде:
$3,(4) = 3,4444\dots$
$3,(5) = 3,5555\dots$
Мы ищем число $x$, для которого выполняется неравенство $3,4444\dots < x < 3,5555\dots$.
Сравним числа по разрядам. У первого числа в разряде десятых стоит 4, у второго — 5. Мы можем выбрать число, у которого в разряде десятых 4, а в разряде сотых — цифра больше 4 (например, $3,45$). Или мы можем выбрать число, у которого в разряде десятых стоит 5, но сотые и последующие разряды меньше, чем у $3,(5)$ (например, $3,51$ или просто $3,5$).
Возьмём простое конечное десятичное число $3,5$.
$3,4444\dots < 3,5$ (сравнение по разряду десятых: $4 < 5$).
$3,5 < 3,5555\dots$ (сравнение по разряду сотых: $0 < 5$, если считать $3,5$ как $3,5000\dots$).
Таким образом, число $3,5$ подходит.
Ответ: $3,5$.

в) Необходимо найти число между $-3,(5)$ и $-3,(4)$.
Речь идёт об отрицательных числах. Для отрицательных чисел действует правило: чем больше модуль числа, тем оно меньше.
Запишем модули данных чисел:
$|-3,(5)| = 3,(5) = 3,5555\dots$
$|-3,(4)| = 3,(4) = 3,4444\dots$
Поскольку $3,4444\dots < 3,5555\dots$, для отрицательных чисел неравенство будет иметь обратный знак: $-3,4444\dots > -3,5555\dots$.
Итак, мы ищем число $x$, которое удовлетворяет условию $-3,(5) < x < -3,(4)$.
Возьмём в качестве кандидата число $-3,5$. Его модуль равен $|-3,5| = 3,5$.
Сравним модули: $3,4444\dots < 3,5 < 3,5555\dots$.
Поскольку для модулей (положительных чисел) выполняется $3,(4) < 3,5 < 3,(5)$, то для соответствующих отрицательных чисел будет выполняться $-3,(4) > -3,5 > -3,(5)$. Это то же самое, что и $-3,(5) < -3,5 < -3,(4)$. Значит, число $-3,5$ подходит.
Ответ: $-3,5$.

г) Требуется найти число, которое находится между $-3,5$ и $3,4$.
Здесь нам нужно найти число, которое больше отрицательного числа и меньше положительного. Любое такое число будет находиться между ними на числовой оси. Самый простой и очевидный пример такого числа — это ноль.
Проверим неравенство:
$-3,5 < 0$ — верно.
$0 < 3,4$ — верно.
Следовательно, $0$ является числом, заключённым между $-3,5$ и $3,4$. Другими примерами могут быть любые целые числа от $-3$ до $3$, например, $1, -2$ и т.д.
Ответ: $0$.

67. Вставьте пропущенный знак (>, <):

a) $-3,9 < 0$ и $0 < 1,2$, следовательно, $-3,9 \quad 1,2;$

б) $\frac{998}{999} < 1$ и $1 < \frac{999}{998}$, следовательно, $\frac{998}{999} \quad \frac{999}{998};$

в) $-\frac{999}{998} < -1$ и $-1 < -\frac{998}{999}$, следовательно, $-\frac{999}{998} \quad -\frac{998}{999}.$

а) В этом примере применяется свойство транзитивности числовых неравенств. Если число $a$ меньше числа $b$, а число $b$ меньше числа $c$ (записывается как $a < b$ и $b < c$), то число $a$ меньше числа $c$ ($a < c$). Нам дано, что $-3,9 < 0$ и $0 < 1,2$. Таким образом, мы можем заключить, что $-3,9$ меньше $1,2$.
Ответ: $-3,9 < 1,2$

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство транзитивности. Нам даны два неравенства: $\frac{998}{999} < 1$ и $1 < \frac{999}{998}$. Дробь $\frac{998}{999}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), поэтому она меньше 1. Дробь $\frac{999}{998}$ является неправильной (числитель больше знаменателя), поэтому она больше 1. Так как первое число меньше 1, а второе число больше 1, то по свойству транзитивности первое число меньше второго.
Ответ: $\frac{998}{999} < \frac{999}{998}$

в) В этом случае мы работаем с отрицательными числами, но свойство транзитивности здесь также применимо. Даны неравенства: $-\frac{999}{998} < -1$ и $-1 < -\frac{998}{999}$. Так как число $-\frac{999}{998}$ меньше $-1$, а $-1$ в свою очередь меньше числа $-\frac{998}{999}$, мы можем сделать вывод, что первое число меньше второго. Это можно также проверить, расположив числа на числовой прямой: число $-\frac{999}{998}$ (приблизительно $-1,001$) будет находиться левее числа $-\frac{998}{999}$ (приблизительно $-0,999$), а значит, оно меньше.
Ответ: $-\frac{999}{998} < -\frac{998}{999}$

68. Поставьте знак сравнения (>, <, =):

а) если $x - 4 < 1$, то $x - 4 + 4 \square 1 + 4$;

б) если $x + 2,4 < -3,1$, то $x + 2,4 + (-2,4) \square -3,1 + (-2,4)$;

в) если $\frac{1}{2} x > 3$, то $\frac{1}{2} x \cdot 2 \square 3 \cdot 2$;

г) если $\frac{1}{5} x < 2$, то $\frac{1}{5} x \cdot (-5) \square 2 \cdot (-5)$.

а)

Исходное неравенство: $x - 4 < 1$.

Согласно одному из основных свойств неравенств, если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. При этом знак неравенства сохраняется.

В данном случае к обеим частям неравенства прибавляется число 4. Знак неравенства "<" не изменяется.

$x - 4 + 4 < 1 + 4$

Ответ: <

б)

Исходное неравенство: $x + 2,4 < -3,1$.

Так же, как и в предыдущем пункте, мы прибавляем к обеим частям неравенства одно и то же число, в данном случае $(-2,4)$. Прибавление (или вычитание) любого числа не меняет знак неравенства.

$x + 2,4 + (-2,4) < -3,1 + (-2,4)$

Ответ: <

в)

Исходное неравенство: $\frac{1}{2}x > 3$.

Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется.

В данном случае обе части неравенства умножаются на положительное число 2. Знак неравенства ">" не изменяется.

$\frac{1}{2}x \cdot 2 > 3 \cdot 2$

Ответ: >

г)

Исходное неравенство: $\frac{1}{5}x < 2$.

Согласно свойству неравенств, при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

В данном случае обе части неравенства умножаются на отрицательное число $(-5)$. Поэтому знак неравенства "<" необходимо изменить на противоположный, то есть на ">".

$\frac{1}{5}x \cdot (-5) > 2 \cdot (-5)$

Ответ: >

277. Решите линейное уравнение:

a) $3x - 1 = 8;$

б) $5x + 2 = 12;$

в) $3 - 2x = -11.$

$3x = 8 + 1;$

..................

..................

а) $3x - 1 = 8$

Для решения линейного уравнения необходимо изолировать переменную $x$ на одной стороне уравнения. Сначала перенесем все постоянные члены (числа без переменной) в правую часть уравнения. При переносе члена из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

Переносим $-1$ из левой части в правую, при этом знак меняется на $+$.

$3x = 8 + 1$

Выполняем сложение в правой части:

$3x = 9$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3.

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Ответ: 3.

б) $5x + 2 = 12$

Действуем по тому же алгоритму. Перенесем постоянный член $+2$ из левой части в правую, изменив его знак на $-$.

$5x = 12 - 2$

Выполняем вычитание в правой части:

$5x = 10$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5.

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Ответ: 2.

в) $3 - 2x = -11$

В этом уравнении член с переменной $x$ имеет отрицательный коэффициент. Сначала перенесем постоянный член $3$ из левой части в правую. Так как число $3$ положительное, при переносе его знак изменится на отрицательный.

$-2x = -11 - 3$

Выполняем вычитание в правой части:

$-2x = -14$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-2$.

$x = \frac{-14}{-2}$

При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число.

$x = 7$

Ответ: 7.