Страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

73. Округлите число $\pi = 3,1415926...$ с избытком:

до единиц: $\pi \approx 4$

a) до десятых: $\pi \approx$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

б) до сотых: $\pi \approx$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

в) до тысячных: $\pi \approx$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

г) до десятитысячных: $\pi \approx$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

д) до стотысячных: $\pi \approx$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

е) до миллионных: $\pi \approx$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Округление числа $ \pi = 3,1415926... $ с избытком (или округление вверх) до определенного разряда означает, что мы отбрасываем все цифры, следующие за этим разрядом, и увеличиваем цифру в этом разряде на единицу, если хотя бы одна из отброшенных цифр не равна нулю. В данном случае, так как $ \pi $ — иррациональное число, все отбрасываемые части будут ненулевыми.

а) до десятых:
Округляем число $ 3,1\underline{4}15926... $ до первого знака после запятой. Цифра в разряде десятых — 1. Так как после нее есть другие цифры, мы увеличиваем ее на единицу: $ 1 + 1 = 2 $.
Результат: $ \pi \approx 3,2 $.
Ответ: $ 3,2 $

б) до сотых:
Округляем число $ 3,14\underline{1}5926... $ до второго знака после запятой. Цифра в разряде сотых — 4. Увеличиваем ее на единицу: $ 4 + 1 = 5 $.
Результат: $ \pi \approx 3,15 $.
Ответ: $ 3,15 $

в) до тысячных:
Округляем число $ 3,141\underline{5}926... $ до третьего знака после запятой. Цифра в разряде тысячных — 1. Увеличиваем ее на единицу: $ 1 + 1 = 2 $.
Результат: $ \pi \approx 3,142 $.
Ответ: $ 3,142 $

г) до десятитысячных:
Округляем число $ 3,1415\underline{9}26... $ до четвертого знака после запятой. Цифра в разряде десятитысячных — 5. Увеличиваем ее на единицу: $ 5 + 1 = 6 $.
Результат: $ \pi \approx 3,1416 $.
Ответ: $ 3,1416 $

д) до стотысячных:
Округляем число $ 3,14159\underline{2}6... $ до пятого знака после запятой. Цифра в разряде стотысячных — 9. Увеличиваем ее на единицу: $ 9 + 1 = 10 $. Это приводит к переносу единицы в предыдущий разряд (десятитысячных): $ 5 + 1 = 6 $. В разряде стотысячных остается 0.
Результат: $ \pi \approx 3,14160 $.
Ответ: $ 3,14160 $

е) до миллионных:
Округляем число $ 3,141592\underline{6}... $ до шестого знака после запятой. Цифра в разряде миллионных — 2. Увеличиваем ее на единицу: $ 2 + 1 = 3 $.
Результат: $ \pi \approx 3,141593 $.
Ответ: $ 3,141593 $

74. Найдите приближение числа с точность до $0,01$ с округлением:

$0,2741700 \approx 0,27;$ $0,2751700 \approx 0,28;$ $3,598 \approx 3,60$

а) $3,9182 \approx$ ...........

б) $9,182 \approx$ ...........

в) $0,\overline{4} \approx$ ...........

г) $0,\overline{5} \approx$ ...........

д) $0,8245 \approx$ ...........

е) $0,8244 \approx$ ...........

ж) $0,\overline{45} \approx$ ...........

з) $0,\overline{54} \approx$ ...........

и) $2,\overline{49} \approx$ ...........

Чтобы найти приближение числа с точностью до $0,01$ (до сотых) с округлением, необходимо выполнить следующие действия:

1. Мы смотрим на третью цифру после запятой (цифру в разряде тысячных).
2. Если эта цифра $5$ или больше ($5, 6, 7, 8, 9$), то вторую цифру после запятой (цифру в разряде сотых) мы увеличиваем на $1$, а все последующие цифры отбрасываем.
3. Если третья цифра после запятой меньше $5$ ($0, 1, 2, 3, 4$), то вторую цифру после запятой мы оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.

Применим это правило к каждому из чисел.

а) Рассматриваем число $3,9182$. Цифра в разряде сотых (вторая после запятой) — это $1$. Следующая за ней цифра в разряде тысячных — это $8$. Так как $8 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде сотых на единицу: $1 + 1 = 2$. Отбрасывая последующие цифры, получаем $3,92$. Ответ: $3,92$

б) Рассматриваем число $9,182$. Цифра в разряде сотых — $8$. Следующая за ней цифра — $2$. Так как $2 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотых без изменений. Отбрасывая последующие цифры, получаем $9,18$. Ответ: $9,18$

в) Число $0,(4)$ — это бесконечная периодическая дробь $0,4444...$. Цифра в разряде сотых — $4$. Следующая за ней цифра в разряде тысячных — также $4$. Так как $4 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотых без изменений. Получаем $0,44$. Ответ: $0,44$

г) Число $0,(5)$ — это бесконечная периодическая дробь $0,5555...$. Цифра в разряде сотых — $5$. Следующая за ней цифра в разряде тысячных — также $5$. Так как $5 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде сотых на единицу: $5 + 1 = 6$. Получаем $0,56$. Ответ: $0,56$

д) Рассматриваем число $0,8245$. Цифра в разряде сотых — $2$. Следующая за ней цифра — $4$. Так как $4 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотых без изменений. Отбрасывая последующие цифры, получаем $0,82$. Ответ: $0,82$

е) Рассматриваем число $0,8244$. Цифра в разряде сотых — $2$. Следующая за ней цифра — $4$. Так как $4 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотых без изменений. Отбрасывая последующие цифры, получаем $0,82$. Ответ: $0,82$

ж) Число $0,(45)$ — это бесконечная периодическая дробь $0,454545...$. Цифра в разряде сотых — $5$. Следующая за ней цифра в разряде тысячных — $4$. Так как $4 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотых без изменений. Получаем $0,45$. Ответ: $0,45$

з) Число $0,(54)$ — это бесконечная периодическая дробь $0,545454...$. Цифра в разряде сотых — $4$. Следующая за ней цифра в разряде тысячных — $5$. Так как $5 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде сотых на единицу: $4 + 1 = 5$. Получаем $0,55$. Ответ: $0,55$

и) Число $2,(49)$ — это бесконечная периодическая дробь $2,494949...$. Цифра в разряде сотых — $9$. Следующая за ней цифра в разряде тысячных — $4$. Так как $4 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотых без изменений. Получаем $2,49$. Ответ: $2,49$

75. Вычислите приближённо с точностью до 0,1:

а) $0.67 + 1.68 \approx ..........$

б) $0.27 + 1.64 \approx ..........$

в) $0.21 + 1.69 \approx ..........$

г) $0.28 + 1.70 \approx ..........$

д) $4.56 - 0.48 \approx ..........$

е) $4.52 - 0.41 \approx ..........$

ж) $4.56 - 0.42 \approx ..........$

з) $4.53 - 0.49 \approx ..........$

а) $0,67 + 1,68$

Сначала выполним точное сложение чисел:

$0,67 + 1,68 = 2,35$

Теперь необходимо округлить полученный результат до десятых (с точностью до 0,1). Для этого смотрим на цифру в разряде сотых. В числе 2,35 это цифра 5. Согласно правилам округления, если цифра в следующем разряде равна 5 или больше, то предыдущий разряд увеличивается на единицу.

$2,35 \approx 2,4$

Ответ: $2,4$

б) $0,27 + 1,64$

Выполним точное сложение:

$0,27 + 1,64 = 1,91$

Округлим результат до десятых. Цифра в разряде сотых - 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений.

$1,91 \approx 1,9$

Ответ: $1,9$

в) $0,21 + 1,69$

Выполним точное сложение:

$0,21 + 1,69 = 1,90$

Округлим результат до десятых. Цифра в разряде сотых - 0. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений.

$1,90 \approx 1,9$

Ответ: $1,9$

г) $0,28 + 1,70$

Выполним точное сложение:

$0,28 + 1,70 = 1,98$

Округлим результат до десятых. Цифра в разряде сотых - 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятых нужно увеличить на единицу. $9+1=10$, поэтому в разряде десятых будет 0, а к целой части прибавится 1.

$1,98 \approx 2,0$

Ответ: $2,0$

д) $4,56 - 0,48$

Выполним точное вычитание:

$4,56 - 0,48 = 4,08$

Округлим результат до десятых. Цифра в разряде сотых - 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятых увеличиваем на единицу.

$4,08 \approx 4,1$

Ответ: $4,1$

е) $4,52 - 0,41$

Выполним точное вычитание:

$4,52 - 0,41 = 4,11$

Округлим результат до десятых. Цифра в разряде сотых - 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений.

$4,11 \approx 4,1$

Ответ: $4,1$

ж) $4,56 - 0,42$

Выполним точное вычитание:

$4,56 - 0,42 = 4,14$

Округлим результат до десятых. Цифра в разряде сотых - 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений.

$4,14 \approx 4,1$

Ответ: $4,1$

з) $4,53 - 0,49$

Выполним точное вычитание:

$4,53 - 0,49 = 4,04$

Округлим результат до десятых. Цифра в разряде сотых - 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений.

$4,04 \approx 4,0$

Ответ: $4,0$

281. Боря решил на 5 задач больше, чем Вася, а всего они решили 11 задач. Сколько задач решил Вася?

Пусть Вася решил $x$ задач. Тогда Боря решил ..... задач, а всего они решили ............... задач.

Составим и решим уравнение:

Пусть Вася решил $x$ задач. Тогда Боря, который решил на 5 задач больше, решил $x + 5$ задач. Всего они решили $x + (x + 5)$ задач.

Составим и решим уравнение:
По условию, вместе они решили 11 задач. Значит, мы можем составить следующее уравнение: $x + (x + 5) = 11$
Раскроем скобки и упростим выражение: $x + x + 5 = 11$
$2x + 5 = 11$
Перенесем 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $2x = 11 - 5$
$2x = 6$
Найдем $x$, разделив обе части на 2: $x = 3$
Таким образом, Вася решил 3 задачи.

Ответ: Вася решил 3 задачи.