Страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

87. Найдите значение числового выражения:

а) $1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + 7 + 8 - 9 + 10 = \ldots$

б) $-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + 8 - 9 + 10 = \ldots$

в) $(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) : (5^2 + 6^2 - 7^2) = \ldots$

г) $9{,}45 : 0{,}3 - 3{,}5 \cdot 9 + 20{,}17 = \ldots$

1) $9{,}45 : 0{,}3 = 94{,}5 : 3 = \ldots$

д) $4{,}84 : 0{,}8 - 35{,}35 : 7 + 4 = \ldots$

1) $4{,}84 : 0{,}8 = \ldots$

е) $\frac{1{,}2+1{,}80}{4{,}1-0{,}2} \cdot \frac{5{,}2 \cdot 0{,}5}{3{,}6:0{,}9} = \ldots$

ж) $\frac{0{,}7:0{,}2}{6{,}8 \cdot 0{,}5} : \frac{0{,}12+0{,}58}{9{,}1-7{,}4} = \ldots$

а) $1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + 7 + 8 - 9 + 10$

Для удобства вычисления сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(1 + 2 - 3) + (4 + 5 - 6) + (7 + 8 - 9) + 10$

Вычисляем значение в каждой скобке:

$1 + 2 - 3 = 0$

$4 + 5 - 6 = 3$

$7 + 8 - 9 = 6$

Теперь сложим полученные результаты и оставшееся число:

$0 + 3 + 6 + 10 = 19$

Ответ: 19

б) $-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + 8 - 9 + 10$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) + (-7 + 8) + (-9 + 10)$

Вычисляем сумму в каждой паре:

$1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$

Ответ: 5

в) $(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) : (5^2 + 6^2 - 7^2)$

Сначала вычислим значения выражений в скобках.

Первая скобка: $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$.

Вторая скобка: $5^2 + 6^2 - 7^2 = 25 + 36 - 49 = 61 - 49 = 12$.

Теперь выполним деление:

$30 : 12 = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5

г) $9,45 : 0,3 - 3,5 \cdot 9 + 20,17$

Выполним действия в соответствии с их порядком: сначала деление и умножение, затем вычитание и сложение.

1. Деление: $9,45 : 0,3 = 94,5 : 3 = 31,5$.

2. Умножение: $3,5 \cdot 9 = 31,5$.

3. Вычитание и сложение: $31,5 - 31,5 + 20,17 = 0 + 20,17 = 20,17$.

Ответ: 20,17

1) $9,45 : 0,3 = 94,5 : 3 = 31,5$

Ответ: 31,5

д) $4,84 : 0,8 - 35,35 : 7 + 4$

Выполним действия по порядку.

1. Первое деление: $4,84 : 0,8 = 48,4 : 8 = 6,05$.

2. Второе деление: $35,35 : 7 = 5,05$.

3. Вычитание и сложение: $6,05 - 5,05 + 4 = 1 + 4 = 5$.

Ответ: 5

1) $4,84 : 0,8$

Чтобы разделить на десятичную дробь, умножим делимое и делитель на 10:

$4,84 : 0,8 = 48,4 : 8 = 6,05$

Ответ: 6,05

е) $\frac{1,2+1,80}{4,1-0,2} \cdot \frac{5,2 \cdot 0,5}{3,6 : 0,9}$

Сначала вычислим значение каждой дроби.

Первая дробь: $\frac{1,2+1,8}{4,1-0,2} = \frac{3}{3,9} = \frac{30}{39} = \frac{10}{13}$.

Вторая дробь: $\frac{5,2 \cdot 0,5}{3,6 : 0,9} = \frac{2,6}{4} = \frac{26}{40} = \frac{13}{20}$.

Теперь умножим полученные дроби:

$\frac{10}{13} \cdot \frac{13}{20} = \frac{10 \cdot 13}{13 \cdot 20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5

ж) $\frac{0,7:0,2}{6,8 \cdot 0,5} : \frac{0,12+0,58}{9,1-7,4}$

Сначала вычислим значение каждого выражения, представленного в виде дроби.

Первое выражение: $\frac{0,7:0,2}{6,8 \cdot 0,5} = \frac{3,5}{3,4} = \frac{35}{34}$.

Второе выражение: $\frac{0,12+0,58}{9,1-7,4} = \frac{0,70}{1,7} = \frac{0,7}{1,7} = \frac{7}{17}$.

Теперь выполним деление полученных дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{35}{34} : \frac{7}{17} = \frac{35}{34} \cdot \frac{17}{7} = \frac{35 \cdot 17}{34 \cdot 7} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot 17}{(2 \cdot 17) \cdot 7} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: 2,5

88. Подчеркните выражения, не имеющие смысла:

$\frac{31 + 2.7 \cdot 0.12}{5.9 - 0.5 \cdot 11.8}$; $\frac{3.1 - 6.2 \cdot 0.5}{3.9 - 9.3}$; $\frac{2.3}{6.9} : \left( \frac{3.5}{0.7} - \frac{4.5}{0.9} \right)$.

$\frac{31 + 2,7 \cdot 0,12}{5,9 - 0,5 \cdot 11,8}$
Арифметическое выражение в виде дроби не имеет смысла, если его знаменатель равен нулю, так как деление на ноль является неопределенной операцией.
Проверим знаменатель данной дроби: $5,9 - 0,5 \cdot 11,8$.
В соответствии с порядком действий, сначала выполняем умножение: $0,5 \cdot 11,8 = 5,9$.
Теперь выполним вычитание: $5,9 - 5,9 = 0$.
Так как знаменатель равен нулю, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

$\frac{3,1 - 6,2 \cdot 0,5}{3,9 - 9,3}$
Проверим, равен ли знаменатель этой дроби нулю.
Вычислим значение знаменателя: $3,9 - 9,3 = -5,4$.
Знаменатель не равен нулю ($-5,4 \neq 0$), следовательно, выражение имеет смысл. Для полноты решения найдем его значение.
Вычислим значение числителя: $3,1 - 6,2 \cdot 0,5 = 3,1 - 3,1 = 0$.
Значение всего выражения: $\frac{0}{-5,4} = 0$.
Ответ: выражение имеет смысл.

$\frac{2,3}{6,9} : (\frac{3,5}{0,7} - \frac{4,5}{0,9})$
Данное выражение представляет собой операцию деления. Оно не будет иметь смысла, если делитель (выражение в скобках) равен нулю.
Вычислим значение выражения в скобках: $\frac{3,5}{0,7} - \frac{4,5}{0,9}$.
Сначала вычислим значения дробей в скобках:
$\frac{3,5}{0,7} = \frac{35}{7} = 5$
$\frac{4,5}{0,9} = \frac{45}{9} = 5$
Теперь выполним вычитание: $5 - 5 = 0$.
Поскольку делитель равен нулю, операция деления невыполнима, и все выражение не имеет смысла.
Ответ: выражение не имеет смысла.

89. Найдите значение числового выражения:

а) $45 : 5 \cdot (9 - 4) = $

б) $45 : (5 \cdot 9 - 4) = $

в) $45 : (5 \cdot 9) - 4 = $

г) $45 : (5 \cdot (9 - 4)) = $

а) $45 : 5 \cdot (9 - 4)$

Для решения данного выражения необходимо следовать правильному порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, а затем деление и умножение в порядке их следования слева направо.

1. Выполним действие в скобках:
$9 - 4 = 5$

2. Теперь выражение выглядит так: $45 : 5 \cdot 5$. Выполним деление, так как оно идет первым слева:
$45 : 5 = 9$

3. Выполним оставшееся действие — умножение:
$9 \cdot 5 = 45$

Таким образом, $45 : 5 \cdot (9 - 4) = 45 : 5 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45

б) $45 : (5 \cdot 9 - 4)$

В этом выражении сначала необходимо выполнить все действия внутри скобок. Внутри скобок приоритет имеет умножение перед вычитанием.

1. Выполним умножение в скобках:
$5 \cdot 9 = 45$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:
$45 - 4 = 41$

3. Выполним деление:
$45 : 41$

Результат можно оставить в виде неправильной дроби. $45 : (5 \cdot 9 - 4) = 45 : (45 - 4) = 45 : 41 = \frac{45}{41}$.

Ответ: $\frac{45}{41}$

в) $45 : (5 \cdot 9) - 4$

Согласно порядку действий, сначала выполняем действие в скобках, затем деление и в конце вычитание.

1. Выполним действие в скобках:
$5 \cdot 9 = 45$

2. Теперь выражение имеет вид: $45 : 45 - 4$. Выполним деление:
$45 : 45 = 1$

3. Выполним вычитание:
$1 - 4 = -3$

Таким образом, $45 : (5 \cdot 9) - 4 = 45 : 45 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Ответ: -3

г) $45 : (5 \cdot (9 - 4))$

В этом выражении присутствуют вложенные скобки. Решение начинается с вычисления выражения в самых внутренних скобках.

1. Выполним действие во внутренних скобках:
$9 - 4 = 5$

2. Теперь выражение выглядит так: $45 : (5 \cdot 5)$. Выполним умножение в оставшихся скобках:
$5 \cdot 5 = 25$

3. Выполним деление:
$45 : 25$

Результат можно записать в виде дроби и сократить её: $\frac{45}{25} = \frac{9 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{9}{5}$. Дробь $\frac{9}{5}$ можно представить в виде десятичной дроби: $1.8$.

Полное решение: $45 : (5 \cdot (9 - 4)) = 45 : (5 \cdot 5) = 45 : 25 = 1.8$.

Ответ: 1.8

292. Выясните, какая из пар чисел (-1; 2), (-1; -2), (1; -2) является решением системы:

a) $ \begin{cases} 7x - 4y - 1 = 0, \\ 2x - 5y - 8 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} -2x + y + 4 = 0, \\ 3x - y - 5 = 0. \end{cases} $

а) Чтобы выяснить, какая из пар чисел является решением системы, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения системы. Если оба уравнения обращаются в верные числовые равенства, то пара является решением.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 4y - 1 = 0, \\ 2x - 5y - 8 = 0. \end{cases} $

Проверим поочередно каждую из предложенных пар чисел: $(-1; 2)$, $(-1; -2)$, $(1; -2)$.

1. Пара $(-1; 2)$. Здесь $x = -1$, $y = 2$.
Подставляем в первое уравнение: $7(-1) - 4(2) - 1 = -7 - 8 - 1 = -16$.
Так как $-16 \neq 0$, эта пара не является решением системы. Дальнейшая проверка не требуется.

2. Пара $(-1; -2)$. Здесь $x = -1$, $y = -2$.
Подставляем в первое уравнение: $7(-1) - 4(-2) - 1 = -7 + 8 - 1 = 0$.
Равенство $0 = 0$ верное.
Подставляем во второе уравнение: $2(-1) - 5(-2) - 8 = -2 + 10 - 8 = 0$.
Равенство $0 = 0$ верное.
Так как оба уравнения обратились в верные равенства, пара $(-1; -2)$ является решением системы.

3. Пара $(1; -2)$. Здесь $x = 1$, $y = -2$.
Подставляем в первое уравнение: $7(1) - 4(-2) - 1 = 7 + 8 - 1 = 14$.
Так как $14 \neq 0$, эта пара не является решением системы.

Ответ: $(-1; -2)$.

б) Проведем аналогичную проверку для второй системы уравнений.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} -2x + y + 4 = 0, \\ 3x - y - 5 = 0. \end{cases} $

Проверим поочередно каждую из предложенных пар чисел: $(-1; 2)$, $(-1; -2)$, $(1; -2)$.

1. Пара $(-1; 2)$. Здесь $x = -1$, $y = 2$.
Подставляем в первое уравнение: $-2(-1) + 2 + 4 = 2 + 2 + 4 = 8$.
Так как $8 \neq 0$, эта пара не является решением системы.

2. Пара $(-1; -2)$. Здесь $x = -1$, $y = -2$.
Подставляем в первое уравнение: $-2(-1) + (-2) + 4 = 2 - 2 + 4 = 4$.
Так как $4 \neq 0$, эта пара не является решением системы.

3. Пара $(1; -2)$. Здесь $x = 1$, $y = -2$.
Подставляем в первое уравнение: $-2(1) + (-2) + 4 = -2 - 2 + 4 = 0$.
Равенство $0 = 0$ верное.
Подставляем во второе уравнение: $3(1) - (-2) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0$.
Равенство $0 = 0$ верное.
Так как оба уравнения обратились в верные равенства, пара $(1; -2)$ является решением системы.

Ответ: $(1; -2)$.

293. Выясните, при каком значении $a$ пара чисел $(5; -4)$ является решением системы:

a) $ \begin{cases} x - y - 9 = 0, \\ 3x + 2y + a = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 4x + 5y = 0, \\ x - 2y + a = 0. \end{cases} $

Чтобы пара чисел $(5; -4)$ являлась решением системы, она должна удовлетворять каждому уравнению системы. Это означает, что при подстановке значений $x = 5$ и $y = -4$ в уравнения мы должны получить верные равенства.

а) Рассмотрим систему уравнений:
$x - y - 9 = 0$
$3x + 2y + a = 0$
Подставим значения $x = 5$ и $y = -4$ в каждое уравнение.
Проверим первое уравнение:
$5 - (-4) - 9 = 5 + 4 - 9 = 0$.
$0 = 0$. Равенство верное, значит пара чисел $(5; -4)$ является решением первого уравнения.
Теперь подставим эти же значения во второе уравнение, чтобы найти значение $a$:
$3(5) + 2(-4) + a = 0$
$15 - 8 + a = 0$
$7 + a = 0$
$a = -7$
При $a = -7$ пара чисел $(5; -4)$ является решением данной системы.
Ответ: $a = -7$.

б) Рассмотрим систему уравнений:
$4x + 5y = 0$
$x - 2y + a = 0$
Подставим значения $x = 5$ и $y = -4$ в каждое уравнение.
Проверим первое уравнение:
$4(5) + 5(-4) = 20 - 20 = 0$.
$0 = 0$. Равенство верное, значит пара чисел $(5; -4)$ является решением первого уравнения.
Теперь подставим эти же значения во второе уравнение, чтобы найти значение $a$:
$5 - 2(-4) + a = 0$
$5 + 8 + a = 0$
$13 + a = 0$
$a = -13$
При $a = -13$ пара чисел $(5; -4)$ является решением данной системы.
Ответ: $a = -13$.

294. Выясните, при каких значениях a и b пара чисел (5; -4) является решением системы:

a) $\begin{cases} 2x - 3y + a = 0, \\ 3x - 2y + b = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y + a = 0, \\ 3x + by + 5 = 0. \end{cases}$

а) Чтобы пара чисел $(5; -4)$ была решением системы, она должна удовлетворять каждому уравнению системы. Это означает, что если мы подставим $x = 5$ и $y = -4$ в уравнения, они превратятся в верные числовые равенства.
Подставим данные значения в оба уравнения системы:
$ \begin{cases} 2x - 3y + a = 0, \\ 3x - 2y + b = 0; \end{cases} $

Для первого уравнения:
$2 \cdot 5 - 3 \cdot (-4) + a = 0$
$10 + 12 + a = 0$
$22 + a = 0$
$a = -22$

Для второго уравнения:
$3 \cdot 5 - 2 \cdot (-4) + b = 0$
$15 + 8 + b = 0$
$23 + b = 0$
$b = -23$

Таким образом, при $a = -22$ и $b = -23$ пара чисел $(5; -4)$ является решением данной системы.
Ответ: $a = -22, b = -23$.

б) Аналогично подставим значения $x = 5$ и $y = -4$ в уравнения второй системы:
$ \begin{cases} 2x + y + a = 0, \\ 3x + by + 5 = 0. \end{cases} $

Для первого уравнения:
$2 \cdot 5 + (-4) + a = 0$
$10 - 4 + a = 0$
$6 + a = 0$
$a = -6$

Для второго уравнения:
$3 \cdot 5 + b \cdot (-4) + 5 = 0$
$15 - 4b + 5 = 0$
$20 - 4b = 0$
$4b = 20$
$b = \frac{20}{4}$
$b = 5$

Таким образом, при $a = -6$ и $b = 5$ пара чисел $(5; -4)$ является решением данной системы.
Ответ: $a = -6, b = 5$.