Страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

106. На сколько процентов число 27 меньше, чем число 30?

Для того чтобы определить, на сколько процентов число 27 меньше, чем число 30, необходимо выполнить несколько действий. За базовое значение, с которым производится сравнение (т.е. за 100%), мы принимаем число 30.

Способ 1: Через нахождение разницы

1. Сначала найдем абсолютную разницу между числами 30 и 27.
$30 - 27 = 3$

2. Теперь вычислим, какую долю составляет эта разница от базового числа 30. Для этого разделим разницу на базовое число.
$\frac{3}{30} = \frac{1}{10} = 0.1$

3. Чтобы перевести полученное значение в проценты, умножим его на 100.
$0.1 \times 100\% = 10\%$

Таким образом, число 27 меньше числа 30 на 10%.

Способ 2: Через пропорцию

1. Примем число 30 за 100%.

2. Найдем, сколько процентов составляет число 27 от числа 30. Обозначим искомый процент как $x$.
Составим пропорцию:
30 – это 100%
27 – это $x$%

3. Решим пропорцию относительно $x$.
$x = \frac{27 \times 100\%}{30} = \frac{2700}{30}\% = 90\%$
Итак, число 27 составляет 90% от числа 30.

4. Чтобы найти, на сколько процентов число 27 меньше, чем 30, вычтем полученный результат из 100%.
$100\% - 90\% = 10\%$

Ответ: число 27 меньше, чем число 30, на 10%.

107*. У Лены пятёрок на $25 \%$ больше, чем троек. На сколько процентов у Лены троек меньше, чем пятёрок?

Для решения этой задачи обозначим количество троек у Лены переменной $Т$, а количество пятёрок — переменной $П$.

Согласно условию, количество пятёрок на 25% больше, чем количество троек. Это означает, что количество пятёрок составляет 100% + 25% = 125% от количества троек. Выразим это в виде уравнения:

$П = Т \times (1 + \frac{25}{100}) = Т \times 1,25$

Теперь нам нужно ответить на вопрос: на сколько процентов у Лены троек меньше, чем пятёрок? В этом вопросе за 100% (то есть за базу для сравнения) принимается количество пятёрок, $П$.

Чтобы найти, на сколько процентов одно число меньше другого, нужно найти их разницу, разделить эту разницу на число, с которым сравниваем, и умножить результат на 100%.

Разница в количестве оценок: $П - Т$.

Искомый процент: $\frac{П - Т}{П} \times 100\%$.

Из первого уравнения ($П = 1,25 \times Т$) мы можем выразить $Т$ через $П$:

$Т = \frac{П}{1,25} = \frac{П}{5/4} = \frac{4}{5}П = 0,8 \times П$

Теперь подставим это выражение в формулу для расчёта процента:

$\frac{П - (0,8 \times П)}{П} \times 100\% = \frac{П \times (1 - 0,8)}{П} \times 100\% = \frac{0,2 \times П}{П} \times 100\%$

Сократив $П$, получаем:

$0,2 \times 100\% = 20\%$

Таким образом, количество троек у Лены на 20% меньше, чем количество пятёрок.

Ответ: на 20%.

300. Решите систему уравнений способом сложения:

a) $\begin{cases} 2x - 3y - 5 = 0, \\ 3x + y - 2 = 0; \end{cases} \quad \left| \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right.$

Сделаем коэффициенты при y противоположными числами:

$\begin{cases} 2x - 3y - 5 = 0, \\ 9x + 3y - 6 = 0. \end{cases}$

Сложим уравнения системы и решим полученное уравнение:

$11x - 11 = 0;$

Подставим найденное значение x в первое уравнение исходной системы и из полученного уравнения найдём значение y:

$2 \cdot \dots - 3y - 5 = 0;$

Решение системы: $(...; ...).$

б) $\begin{cases} 1,2x - 2,3y + 5,7 = 0, \\ 12x + 23y - 81 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} -5x + y - 13 = 0, \\ 0,7x - 0,2y + 2 = 0. \end{cases}$

а) Заполним пропуски в решении, представленном в условии, и завершим его.

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y - 5 = 0 \\ 3x + y - 2 = 0 \end{cases} $

В условии уже выполнен первый шаг: второе уравнение умножили на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными, и получили систему:

$ \begin{cases} 2x - 3y - 5 = 0 \\ 9x + 3y - 6 = 0 \end{cases} $

Далее, уравнения складываются, что приводит к уравнению с одной переменной:

$(2x - 3y - 5) + (9x + 3y - 6) = 0$

$11x - 11 = 0$

Решим это уравнение:

$11x = 11$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$2 \cdot 1 - 3y - 5 = 0$

$2 - 3y - 5 = 0$

$-3 - 3y = 0$

$-3y = 3$

$y = -1$

Таким образом, решение системы: $(1; -1)$.

Ответ: $(1; -1)$.

б) Решим систему уравнений способом сложения:

$ \begin{cases} 1,2x - 2,3y + 5,7 = 0 \\ 12x + 23y - 81 = 0 \end{cases} $

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части первого уравнения на 10:

$10 \cdot (1,2x - 2,3y + 5,7) = 10 \cdot 0$

$12x - 23y + 57 = 0$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 12x - 23y + 57 = 0 \\ 12x + 23y - 81 = 0 \end{cases} $

Коэффициенты при $y$ являются противоположными числами. Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:

$(12x - 23y + 57) + (12x + 23y - 81) = 0$

$24x - 24 = 0$

$24x = 24$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x = 1$ во второе исходное уравнение:

$12(1) + 23y - 81 = 0$

$12 + 23y - 81 = 0$

$23y - 69 = 0$

$23y = 69$

$y = 3$

Ответ: $(1; 3)$.

в) Решим систему уравнений способом сложения:

$ \begin{cases} -5x + y - 13 = 0 \\ 0,7x - 0,2y + 2 = 0 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (0,7x - 0,2y + 2) = 10 \cdot 0$

$7x - 2y + 20 = 0$

Система примет вид:

$ \begin{cases} -5x + y - 13 = 0 \\ 7x - 2y + 20 = 0 \end{cases} $

Чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными, умножим первое уравнение на 2:

$2 \cdot (-5x + y - 13) = 2 \cdot 0$

$-10x + 2y - 26 = 0$

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} -10x + 2y - 26 = 0 \\ 7x - 2y + 20 = 0 \end{cases} $

Сложим уравнения полученной системы:

$(-10x + 2y - 26) + (7x - 2y + 20) = 0$

$-3x - 6 = 0$

$-3x = 6$

$x = -2$

Подставим значение $x = -2$ в первое уравнение исходной системы:

$-5(-2) + y - 13 = 0$

$10 + y - 13 = 0$

$y - 3 = 0$

$y = 3$

Ответ: $(-2; 3)$.