Страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

111* Брюки дороже рубашки на $30\%$ и дешевле пиджака на $22\%$.

На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие цены товаров:

• $Р$ — цена рубашки;
• $Б$ — цена брюк;
• $П$ — цена пиджака.

Согласно условию, "Брюки дороже рубашки на 30 %". Это означает, что цена брюк на 30% больше цены рубашки. Выразим это математически:

$Б = Р + 0.3 \times Р = 1.3 \times Р$

Также известно, что "брюки... дешевле пиджака на 22 %". Это значит, что цена брюк составляет $100\% - 22\% = 78\%$ от цены пиджака. Запишем это в виде уравнения:

$Б = П - 0.22 \times П = (1 - 0.22) \times П = 0.78 \times П$

Теперь у нас есть два выражения для цены брюк ($Б$). Мы можем их приравнять, чтобы найти соотношение между ценой рубашки ($Р$) и ценой пиджака ($П$):

$1.3 \times Р = 0.78 \times П$

Из этого уравнения выразим цену рубашки ($Р$) через цену пиджака ($П$):

$Р = \frac{0.78}{1.3} \times П$

Вычислим значение дроби:

$\frac{0.78}{1.3} = \frac{78}{130} = \frac{6 \times 13}{10 \times 13} = \frac{6}{10} = 0.6$

Таким образом, мы получаем связь между ценой рубашки и ценой пиджака:

$Р = 0.6 \times П$

Это равенство означает, что цена рубашки составляет 60% от цены пиджака.

Вопрос задачи — "На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?". Чтобы найти это значение, нужно определить, на сколько процентов цена рубашки меньше цены пиджака, где цена пиджака принимается за 100%.

Разница в процентах составляет: $100\% - 60\% = 40\%$.

Проверим расчет по формуле процентного отличия: $\frac{П - Р}{П} \times 100\%$. Подставив $Р = 0.6 \times П$, получим:

$\frac{П - 0.6 \times П}{П} \times 100\% = \frac{0.4 \times П}{П} \times 100\% = 0.4 \times 100\% = 40\%$

Ответ: рубашка дешевле пиджака на 40 %.

112* 3 кг черешни стоят столько же, сколько 5 кг вишни ($\text{3 кг черешни} = \text{5 кг вишни}$), а 3 кг вишни стоят столько же, сколько 2 кг клубники ($\text{3 кг вишни} = \text{2 кг клубники}$). На сколько процентов 1 кг клубники дешевле, чем 1 кг черешни?

Для решения задачи введем следующие обозначения для цен за 1 кг продуктов:

• $Ч$ — цена черешни;
• $В$ — цена вишни;
• $К$ — цена клубники.

Из условия задачи составим уравнения. Утверждение "3 кг черешни стоят столько же, сколько 5 кг вишни" можно записать в виде равенства:

$3 \cdot Ч = 5 \cdot В$

Утверждение "5 кг вишни стоят столько же, сколько 2 кг клубники" записывается как:

$5 \cdot В = 2 \cdot К$

Мы получили систему из двух уравнений, где левая часть второго уравнения ($5 \cdot В$) совпадает с правой частью первого. Это позволяет нам приравнять другие части этих уравнений, чтобы напрямую связать цену черешни и клубники:

$3 \cdot Ч = 2 \cdot К$

Теперь нам нужно ответить на вопрос: "На сколько процентов 1 кг клубники дешевле, чем 1 кг черешни?". В этом вопросе цена черешни ($Ч$) является базой для сравнения, то есть принимается за 100%.

Выразим цену клубники ($К$) через цену черешни ($Ч$) из полученного равенства:

$К = \frac{3}{2} \cdot Ч = 1.5 \cdot Ч$

Как видно из этого соотношения, цена 1 кг клубники в 1.5 раза выше цены 1 кг черешни. Это означает, что клубника на самом деле дороже черешни, а не дешевле.

Чтобы вычислить, на сколько процентов клубника дешевле черешни, используем стандартную формулу для нахождения процентной разницы, где за базу берется цена черешни:

$\text{Процентная разница} = \frac{Ч - К}{Ч} \cdot 100\%$

Теперь подставим в эту формулу выражение $К = 1.5 \cdot Ч$:

$\frac{Ч - 1.5 \cdot Ч}{Ч} \cdot 100\% = \frac{-0.5 \cdot Ч}{Ч} \cdot 100\% = -0.5 \cdot 100\% = -50\%$

Отрицательный результат (-50%) как раз и показывает, что клубника не дешевле, а дороже. Говоря "дешевле на -50%", мы имеем в виду "дороже на 50%".

Ответ: 1 кг клубники на 50% дороже, чем 1 кг черешни.

301. Равносильны ли системы уравнений:

а) $\begin{cases}2x + 5y - 11 = 0, \\x - 2y - 1 = 0\end{cases}$ и $\begin{cases}2x + 5y - 11 = 0 \\2x - 4y - 2 = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x + y - 10 = 0, \\x - y - 2 = 0\end{cases}$ и $\begin{cases}y = -x + 5, \\x - y - 2 = 0;\end{cases}$

в) $\begin{cases}3x + 4y - x - 6 = 0, \\x - y + 2y - 2 = 0\end{cases}$ и $\begin{cases}2x + 4y - 6 = 0 \\x + y - 2 = 0;\end{cases}$

г) $\begin{cases}x + y - 5 = 0, \\x - y - 1 = 0\end{cases}$ и $\begin{cases}y = -x + 5, \\x - (-x + 5) - 1 = 0?\end{cases}$

а) Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают.Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 2x + 5y - 11 = 0 \\ x - 2y - 1 = 0 \end{cases} $

и вторую систему:

$ \begin{cases} 2x + 5y - 11 = 0 \\ 2x - 4y - 2 = 0 \end{cases} $

Первые уравнения в обеих системах одинаковы. Сравним вторые уравнения. Второе уравнение второй системы $2x - 4y - 2 = 0$ может быть получено из второго уравнения первой системы $x - 2y - 1 = 0$ путем умножения обеих частей уравнения на 2:

$2 \cdot (x - 2y - 1) = 2 \cdot 0$

$2x - 4y - 2 = 0$

Поскольку одно уравнение системы заменено на равносильное ему уравнение (полученное умножением на число, не равное нулю), а другое уравнение осталось без изменений, то системы равносильны.

Ответ: Равносильны.

б) Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x + y - 10 = 0 \\ x - y - 2 = 0 \end{cases} $

и вторую систему:

$ \begin{cases} y = -x + 5 \\ x - y - 2 = 0 \end{cases} $

Вторые уравнения в обеих системах одинаковы. Сравним первые уравнения. В первой системе это $x + y - 10 = 0$. Во второй системе первое уравнение $y = -x + 5$ можно переписать в виде $x + y - 5 = 0$.

Уравнения $x + y - 10 = 0$ и $x + y - 5 = 0$ не являются равносильными, так как описывают две разные параллельные прямые. Следовательно, и системы уравнений не являются равносильными, так как у них будут разные решения.

Найдем решение первой системы. Сложив уравнения, получим $2x - 12 = 0$, откуда $x=6$. Подставив $x=6$ в первое уравнение, получим $6+y-10=0$, откуда $y=4$. Решение: $(6; 4)$.

Найдем решение второй системы. Подставим $y = -x+5$ во второе уравнение: $x - (-x+5) - 2 = 0$, что дает $2x-7=0$, откуда $x=3.5$. Тогда $y = -3.5 + 5 = 1.5$. Решение: $(3.5; 1.5)$.

Так как решения систем различны, системы не равносильны.

Ответ: Не равносильны.

в) Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 3x + 4y - x - 6 = 0 \\ x - y + 2y - 2 = 0 \end{cases} $

и вторую систему:

$ \begin{cases} 2x + 4y - 6 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} $

Упростим уравнения первой системы, приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение: $3x - x + 4y - 6 = 0 \implies 2x + 4y - 6 = 0$.

Второе уравнение: $x - y + 2y - 2 = 0 \implies x + y - 2 = 0$.

Таким образом, первая система после упрощения принимает вид:

$ \begin{cases} 2x + 4y - 6 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} $

Эта система в точности совпадает со второй системой. Следовательно, системы равносильны.

Ответ: Равносильны.

г) Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x + y - 5 = 0 \\ x - y - 1 = 0 \end{cases} $

и вторую систему:

$ \begin{cases} y = -x + 5 \\ x - (-x + 5) - 1 = 0 \end{cases} $

Вторая система получена из первой методом подстановки. Из первого уравнения первой системы $x + y - 5 = 0$ выразим $y$: $y = -x + 5$. Это и есть первое уравнение второй системы.

Затем это выражение для $y$ подставили во второе уравнение первой системы $x - y - 1 = 0$:

$x - (-x + 5) - 1 = 0$

Это второе уравнение второй системы. Преобразование системы уравнений методом подстановки является равносильным преобразованием. Это означает, что множество решений исходной системы совпадает с множеством решений новой системы.

Найдем решение первой системы. Сложив уравнения, получим $2x - 6 = 0$, откуда $x=3$. Подставив в первое уравнение, получим $3 + y - 5 = 0$, откуда $y=2$. Решение: $(3; 2)$.

Решим вторую систему. Из второго уравнения $x - (-x + 5) - 1 = 0 \implies 2x - 6 = 0$, откуда $x=3$. Из первого уравнения $y = -3 + 5 = 2$. Решение: $(3; 2)$.

Решения совпадают, следовательно, системы равносильны.

Ответ: Равносильны.

302. Равносильны ли системы уравнений:

a) $ \begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases} $ и $ \begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -3x + 6y + 6 = 0 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} -y - 14 = 0 \\ -3x + 6y + 6 = 0 \end{cases} $ и $ \begin{cases} -y = 14 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = -14 \\ -x - 28 + 2 = 0 \end{cases} $ и $ \begin{cases} y = -14 \\ -x = 26 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y = -14 \\ -x = 26 \end{cases} $ и $ \begin{cases} x = -26 \\ y = -14 \end{cases} $

д) $ \begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases} $ и $ \begin{cases} x = -26 \\ y = -14? \end{cases} $

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы проверить равносильность, можно либо найти решения каждой системы и сравнить их, либо показать, что одна система может быть получена из другой с помощью равносильных преобразований.

а) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -3x + 6y + 6 = 0 \end{cases}$

Первые уравнения в обеих системах идентичны. Сравним вторые уравнения. Умножим второе уравнение первой системы на 3:

$3 \cdot (-x + 2y + 2) = 3 \cdot 0$

$-3x + 6y + 6 = 0$

Полученное уравнение совпадает со вторым уравнением второй системы. Так как одно из уравнений системы заменено на равносильное ему (умножение на ненулевое число 3 является равносильным преобразованием), а другое уравнение осталось без изменений, то системы равносильны.

Ответ: Да, системы равносильны.

б) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} -y - 14 = 0 \\ -3x + 6y + 6 = 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} -y = 14 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases}$

Преобразуем уравнения первой системы. Первое уравнение $-y - 14 = 0$ равносильно уравнению $-y = 14$ (перенос слагаемого). Это идентично первому уравнению второй системы.

Второе уравнение первой системы $-3x + 6y + 6 = 0$ можно разделить на 3 (равносильное преобразование):

$(-3x + 6y + 6) : 3 = 0 : 3$

$-x + 2y + 2 = 0$

Это уравнение идентично второму уравнению второй системы. Поскольку обе системы состоят из попарно равносильных уравнений, сами системы также равносильны.

Ответ: Да, системы равносильны.

в) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} y = -14 \\ -x - 28 + 2 = 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} y = -14 \\ -x = 26 \end{cases}$

Первые уравнения в обеих системах идентичны: $y = -14$.

Упростим второе уравнение первой системы:

$-x - 28 + 2 = 0$

$-x - 26 = 0$

Перенесем слагаемое, чтобы получить $-x = 26$.

Полученное уравнение идентично второму уравнению второй системы. Следовательно, системы равносильны.

Ответ: Да, системы равносильны.

г) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} y = -14 \\ -x = 26 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x = -26 \\ y = -14 \end{cases}$

Найдем решение первой системы. Из первого уравнения $y = -14$. Из второго уравнения $-x = 26$ следует, что $x = -26$. Таким образом, решение первой системы — это пара $(-26; -14)$.

Вторая система явно задает свое решение: $x = -26$ и $y = -14$. Решение второй системы — это также пара $(-26; -14)$.

Так как множества решений обеих систем совпадают, системы равносильны. Порядок уравнений в системе не имеет значения.

Ответ: Да, системы равносильны.

д) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x = -26 \\ y = -14 \end{cases}$

Вторая система имеет единственное решение: $(x, y) = (-26, -14)$.

Проверим, является ли эта пара чисел решением первой системы. Для этого подставим значения $x = -26$ и $y = -14$ в каждое уравнение первой системы.

Проверка для первого уравнения $3x - 7y - 20 = 0$:

$3(-26) - 7(-14) - 20 = -78 + 98 - 20 = 20 - 20 = 0$.

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения $-x + 2y + 2 = 0$:

$-(-26) + 2(-14) + 2 = 26 - 28 + 2 = -2 + 2 = 0$.

$0 = 0$. Верно.

Поскольку пара чисел $(-26, -14)$ является решением первой системы, и первая система, как система линейных уравнений, имеет единственное решение, то множества решений обеих систем совпадают. Следовательно, системы равносильны.

Ответ: Да, системы равносильны.

303. Составьте систему уравнений, равносильную данной:

а) $\begin{cases} 3x + 2y + 5 = 0 \\ 2x - 3y - 1 = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + 4 = 0 \\ x - 2y + 2 = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y - 2x + 7 = 0 \\ x - y + 3y - 9 = 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + 2y - 12 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

Равносильные системы уравнений — это системы, имеющие одинаковое множество решений. Чтобы получить равносильную систему, можно выполнить над её уравнениями равносильные преобразования. Одним из таких преобразований является перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. В данном случае для каждого уравнения перенесем свободный член (константу) в правую часть.

Для первого уравнения $3x + 2y + 5 = 0$ переносим $5$ в правую часть:

$3x + 2y = -5$

Для второго уравнения $2x - 3y - 1 = 0$ переносим $-1$ в правую часть:

$2x - 3y = 1$

Полученная система, состоящая из преобразованных уравнений, равносильна исходной.

Ответ:

б)

Дана система уравнений:

Для составления равносильной системы перенесем свободные члены в правую часть каждого уравнения. Это является равносильным преобразованием, так как не меняет множество решений системы.

В первом уравнении $x + y + 4 = 0$ переносим $4$ в правую часть:

$x + y = -4$

Во втором уравнении $x - 2y + 2 = 0$ переносим $2$ в правую часть:

$x - 2y = -2$

Таким образом, мы составили равносильную систему.

Ответ:

в)

Дана система уравнений:

Вначале выполним равносильное преобразование — упростим каждое уравнение, приведя подобные слагаемые. Это не изменит множество решений системы.

Упростим первое уравнение: $x - y - 2x + 7 = 0$

$(1-2)x - y + 7 = 0$

$-x - y + 7 = 0$

Упростим второе уравнение: $x - y + 3y - 9 = 0$

$x + (-1+3)y - 9 = 0$

$x + 2y - 9 = 0$

Теперь мы имеем упрощенную систему, равносильную исходной:

Далее, чтобы получить другую форму равносильной системы, перенесем свободные члены в правую часть. Для удобства также можно умножить первое уравнение на $-1$.

Из первого уравнения: $-x - y = -7$, что эквивалентно $x + y = 7$.

Из второго уравнения: $x + 2y = 9$.

Ответ:

г)

Дана система уравнений:

Для того чтобы составить равносильную систему, выполним преобразование, которое не изменит множество ее решений. Перенесем свободные члены в правую часть каждого уравнения.

В первом уравнении $3x + 2y - 12 = 0$ переносим $-12$ в правую часть:

$3x + 2y = 12$

Во втором уравнении $x - y + 1 = 0$ переносим $1$ в правую часть:

$x - y = -1$

Полученная система является равносильной исходной.

Ответ: