Страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

138. Укажите стрелкой степень многочлена:

$5x^2 - 2x + 17$ → 2

$b^3 - b^2 - 7ab^3 + a - 3$

$4x^2 + 2x^3 - 3 - 4x^2$ → 4

$a^5 - 2b + 8 + 2b - a^5$

$x^2 + 3x^3 - 4x^2 + 5x^3$

1 ← $7b + 4$

7 → 3

$x^4 + x^3 - x^4 + x^3 + 2017$

$x^2 + 3x^3 - x^4 + x$ → 0

$3x^2 - x^3 - x^2 + x^3 + 2$

$5x^2 - 2x + 17$
Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Данный многочлен состоит из одночленов: $5x^2$ (степень 2), $-2x$ (степень 1) и $17$ (степень 0). Наибольшая степень равна 2.
Ответ: 2

$4x^2 + 2x^3 - 3 - 4x^2$
Сначала приведем подобные члены: $(4x^2 - 4x^2) + 2x^3 - 3 = 2x^3 - 3$. Теперь многочлен состоит из одночленов $2x^3$ (степень 3) и $-3$ (степень 0). Наибольшая степень равна 3.
Ответ: 3

$x^2 + 3x^3 - 4x^2 + 5x^3$
Приведем подобные члены: $(x^2 - 4x^2) + (3x^3 + 5x^3) = -3x^2 + 8x^3$. Одночлены многочлена: $-3x^2$ (степень 2) и $8x^3$ (степень 3). Наибольшая степень равна 3.
Ответ: 3

$7$
Это многочлен, состоящий из одного члена (числа), который является одночленом нулевой степени, так как $7 = 7x^0$.
Ответ: 0

$x^2 + 3x^3 - x^4 + x$
Многочлен состоит из одночленов: $x^2$ (степень 2), $3x^3$ (степень 3), $-x^4$ (степень 4) и $x$ (степень 1). Наибольшая степень равна 4.
Ответ: 4

$b^3 - b^2 - 7ab^3 + a - 3$
Степень одночлена с несколькими переменными равна сумме показателей степеней этих переменных. Степени одночленов: $b^3$ (степень 3), $-b^2$ (степень 2), $-7ab^3$ (степень $1+3=4$), $a$ (степень 1) и $-3$ (степень 0). Наибольшая степень равна 4.
Ответ: 4

$a^5 - 2b + 8 + 2b - a^5$
Приведем подобные члены: $(a^5 - a^5) + (-2b + 2b) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8$. В результате получили число 8, которое является многочленом нулевой степени.
Ответ: 0

$7b + 4$
Многочлен состоит из одночленов $7b$ (степень 1) и $4$ (степень 0). Наибольшая степень равна 1.
Ответ: 1

$x^4 + x^3 - x^4 + x^3 + 2017$
Приведем подобные члены: $(x^4 - x^4) + (x^3 + x^3) + 2017 = 2x^3 + 2017$. Одночлены многочлена: $2x^3$ (степень 3) и $2017$ (степень 0). Наибольшая степень равна 3.
Ответ: 3

$3x^2 - x^3 - x^2 + x^3 + 2$
Приведем подобные члены: $(3x^2 - x^2) + (-x^3 + x^3) + 2 = 2x^2 + 2$. Одночлены многочлена: $2x^2$ (степень 2) и $2$ (степень 0). Наибольшая степень равна 2.
Ответ: 2

139. Найдите сумму многочленов:

а) $(3a + 5) + (2a - 1) = \ldots$

б) $(5x - 2y) + (y - x) = \ldots$

в) $(7a - 2b + 1) + (7a - 2b + 1) = \ldots$

г) $(9x - y + 7) + (y - 7 - x) = \ldots$

д) $(a + b + c) + (-a - b - c) = \ldots$

е) $(a - 2b + 3c) + (-3a + 2b - c) = \ldots$

а) Чтобы найти сумму многочленов $(3a + 5)$ и $(2a - 1)$, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Поскольку перед каждой скобкой стоит знак плюс (который обычно не пишется перед первым слагаемым), знаки внутри скобок не меняются.

$(3a + 5) + (2a - 1) = 3a + 5 + 2a - 1$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $a$ и свободные члены (числа).

$(3a + 2a) + (5 - 1) = 5a + 4$

Ответ: $5a + 4$

б) Чтобы найти сумму многочленов $(5x - 2y)$ и $(y - x)$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(5x - 2y) + (y - x) = 5x - 2y + y - x$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$.

$(5x - x) + (-2y + y) = 4x - y$

Ответ: $4x - y$

в) Найдем сумму двух одинаковых многочленов $(7a - 2b + 1)$ и $(7a - 2b + 1)$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(7a - 2b + 1) + (7a - 2b + 1) = 7a - 2b + 1 + 7a - 2b + 1$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $a$, слагаемые с переменной $b$ и свободные члены.

$(7a + 7a) + (-2b - 2b) + (1 + 1) = 14a - 4b + 2$

Ответ: $14a - 4b + 2$

г) Чтобы найти сумму многочленов $(9x - y + 7)$ и $(y - 7 - x)$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(9x - y + 7) + (y - 7 - x) = 9x - y + 7 + y - 7 - x$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $x$, слагаемые с переменной $y$ и свободные члены.

$(9x - x) + (-y + y) + (7 - 7)$

Выполним действия в каждой группе. Обратите внимание, что слагаемые с $y$ и свободные члены взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю.

$8x + 0 + 0 = 8x$

Ответ: $8x$

д) Найдем сумму многочленов $(a + b + c)$ и $(-a - b - c)$. Заметим, что второй многочлен является противоположным первому.

Раскроем скобки:

$(a + b + c) + (-a - b - c) = a + b + c - a - b - c$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(a - a) + (b - b) + (c - c)$

Все слагаемые взаимно уничтожаются, так как сумма противоположных чисел равна нулю.

$0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

е) Чтобы найти сумму многочленов $(a - 2b + 3c)$ и $(-3a + 2b - c)$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(a - 2b + 3c) + (-3a + 2b - c) = a - 2b + 3c - 3a + 2b - c$

Сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $a$, слагаемые с переменной $b$ и слагаемые с переменной $c$.

$(a - 3a) + (-2b + 2b) + (3c - c)$

Выполним действия в каждой группе. Слагаемые с $b$ взаимно уничтожаются.

$-2a + 0 + 2c = -2a + 2c$

Ответ: $-2a + 2c$

140. Найдите разность многочленов:

а) $(2a + 5) - (3a - 6) = $…

б) $(5x - y) - (2y - x) = $…

в) $(a - 2b - 7) - (a - b - 1) = $…

г) $(2x + y - 3) - (y - 3 + x) = $…

д) $(3a + 4b + 5c) - (a + 4b + 3c) = $…

е) $(a - 3b + 2c) - (-2a - 3b - c) = $…

а) Чтобы найти разность многочленов $(2a + 5)$ и $(3a - 6)$, нужно из первого многочлена вычесть второй. Для этого раскроем скобки. Так как перед вторым многочленом в скобках стоит знак минус, все знаки его членов меняются на противоположные.
$(2a + 5) - (3a - 6) = 2a + 5 - 3a + 6$
Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и сложим члены с одинаковой переменной, а также числовые коэффициенты.
$(2a - 3a) + (5 + 6) = -a + 11$
Ответ: $-a + 11$

б) Найдем разность многочленов $(5x - y)$ и $(2y - x)$. Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена.
$(5x - y) - (2y - x) = 5x - y - 2y - (-x) = 5x - y - 2y + x$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для переменных $x$ и $y$.
$(5x + x) + (-y - 2y) = 6x - 3y$
Ответ: $6x - 3y$

в) Вычтем многочлен $(a - b - 1)$ из многочлена $(a - 2b - 7)$. Раскроем скобки.
$(a - 2b - 7) - (a - b - 1) = a - 2b - 7 - a - (-b) - (-1) = a - 2b - 7 - a + b + 1$
Приведем подобные слагаемые.
$(a - a) + (-2b + b) + (-7 + 1) = 0a - b - 6 = -b - 6$
Ответ: $-b - 6$

г) Найдем разность многочленов $(2x + y - 3)$ и $(y - 3 + x)$. Для удобства можно переставить слагаемые во втором многочлене: $(x + y - 3)$. Раскрываем скобки.
$(2x + y - 3) - (y - 3 + x) = 2x + y - 3 - y + 3 - x$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.
$(2x - x) + (y - y) + (-3 + 3) = x + 0y + 0 = x$
Ответ: $x$

д) Вычтем многочлен $(a + 4b + 3c)$ из многочлена $(3a + 4b + 5c)$. Раскроем скобки.
$(3a + 4b + 5c) - (a + 4b + 3c) = 3a + 4b + 5c - a - 4b - 3c$
Сгруппируем подобные слагаемые по переменным $a$, $b$ и $c$.
$(3a - a) + (4b - 4b) + (5c - 3c) = 2a + 0b + 2c = 2a + 2c$
Ответ: $2a + 2c$

е) Найдем разность многочленов $(a - 3b + 2c)$ и $(-2a - 3b - c)$. Раскроем скобки, меняя знаки во втором многочлене.
$(a - 3b + 2c) - (-2a - 3b - c) = a - 3b + 2c - (-2a) - (-3b) - (-c) = a - 3b + 2c + 2a + 3b + c$
Приведем подобные слагаемые.
$(a + 2a) + (-3b + 3b) + (2c + c) = 3a + 0b + 3c = 3a + 3c$
Ответ: $3a + 3c$

313. Если каждая девочка принесёт по 3 кг макулатуры, а каждый мальчик — по 5 кг, то все 30 учащихся класса принесут 122 кг макулатуры. Сколько мальчиков в классе?

Пусть было $m$ мальчиков и $d$ девочек. Тогда верны два равенства: $m + d = 30$ и $5m + 3d = 122$.

Решим систему двух уравнений с неизвестными $m$ и $d$:

Для ответа на вопрос задачи необходимо решить систему двух уравнений с двумя переменными, предложенную в условии. Пусть $m$ — количество мальчиков, а $d$ — количество девочек.

Система уравнений:

$ \begin{cases} m + d = 30 \\ 5m + 3d = 122 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $d$:

$d = 30 - m$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$5m + 3(30 - m) = 122$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки:

$5m + 90 - 3m = 122$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2m + 90 = 122$

Перенесём 90 в правую часть, изменив знак:

$2m = 122 - 90$

$2m = 32$

Найдём $m$, разделив обе части уравнения на 2:

$m = \frac{32}{2}$

$m = 16$

Таким образом, мы нашли, что в классе 16 мальчиков.

Ответ: 16.