Страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

113. Зачеркните три выражения, не являющиеся одночленами:

$2a + b;$$ab;$$3;$$\frac{1}{4}a^3;$$\frac{2a}{3b};$$\frac{x}{2}.$

Для решения этой задачи необходимо определить, какие из предложенных выражений не соответствуют определению одночлена. Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Одночлен не может содержать операции сложения, вычитания или деления на переменную.

Проанализируем каждое выражение:

• $2a + b$

  Это выражение содержит операцию сложения двух слагаемых ($2a$ и $b$). Следовательно, это не одночлен, а многочлен (двучлен).

• $ab$

  Это выражение является произведением двух переменных, $a$ и $b$. Оно полностью соответствует определению одночлена.

• $3$

  Это число. Любое число считается одночленом, степень переменных в котором равна нулю (например, $3 = 3x^0$).

• $\frac{1}{4}a^3$

  Это выражение является произведением числового коэффициента $\frac{1}{4}$ и переменной $a$ в третьей степени. Это одночлен.

• $\frac{2a}{3b}$

  Это выражение содержит операцию деления на переменную $b$. Согласно определению, деление на переменную в одночленах недопустимо. Следовательно, это не одночлен.

• $\frac{x}{2}$

  Хотя это выражение алгебраически эквивалентно одночлену $\frac{1}{2}x$ (произведение коэффициента $\frac{1}{2}$ и переменной $x$), в некоторых строгих определениях, используемых в школьных учебниках, выражение, содержащее знак деления, не считается одночленом в стандартной записи. Одночлен определяется как *произведение*. Таким образом, если придерживаться строгого определения, наличие явной операции деления делает это выражение не одночленом. Учитывая, что в задании требуется найти три таких выражения, этот случай подходит.

Таким образом, три выражения, которые не являются одночленами, это $2a + b$ (из-за сложения), $\frac{2a}{3b}$ (из-за деления на переменную) и $\frac{x}{2}$ (из-за наличия операции деления).

Ответ: $2a + b$; $\frac{2a}{3b}$; $\frac{x}{2}$.

114. Запишите одночлен различными способами:

а) $abc = acb = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

б) $aba = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

а) Одночлен $abc$ является произведением трех различных множителей: $a$, $b$ и $c$. Согласно переместительному (коммутативному) свойству умножения, порядок множителей не влияет на результат. Следовательно, мы можем записать эти три множителя в любой последовательности.

Всего существует $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ возможных перестановок. Перечислим все способы записи данного одночлена:

$abc = acb = bac = bca = cab = cba$

Ответ: $abc = acb = bac = bca = cab = cba$.

б) Одночлен $aba$ состоит из двух множителей $a$ и одного множителя $b$. Используя переместительное свойство умножения, мы можем сгруппировать одинаковые множители вместе: $aba = a \cdot b \cdot a = a \cdot a \cdot b$.

Произведение одинаковых множителей принято записывать в виде степени. В данном случае произведение $a \cdot a$ записывается как $a^2$. Таким образом, мы приводим одночлен к его стандартному виду. Другие возможные перестановки множителей — $aab$ и $baa$.

Все эти записи эквивалентны:

$aba = aab = baa = a^2b$

Ответ: $aba = aab = baa = a^2b$.

115. Запишите десятью различными способами одночлен $aabb$:

Одночлен $aabb$ можно записать множеством различных способов, используя основные свойства умножения (переместительное, сочетательное) и определение степени. Ниже приведены десять различных способов записи этого одночлена.

Представим произведение одинаковых множителей в виде степени. Это стандартный вид одночлена.
Ответ: $a^2b^2$

Применим переместительное (коммутативное) свойство умножения к стандартному виду, поменяв множители местами.
Ответ: $b^2a^2$

Используем свойство степени произведения в обратном порядке: $a^2b^2 = (ab)^2$.
Ответ: $(ab)^2$

Запишем квадрат произведения как произведение двух одинаковых множителей.
Ответ: $(ab)(ab)$

Переставим исходные множители $a, a, b, b$ в порядке чередования.
Ответ: $abab$

Еще один способ записи, полученный перестановкой исходных множителей.
Ответ: $bbaa$

Сгруппируем множители, вынеся за скобки множитель $a$, используя сочетательное свойство: $a \cdot (a \cdot b \cdot b)$.
Ответ: $a(ab^2)$

Сгруппируем множители по-другому, вынеся за скобки множитель $b$: $(a \cdot a \cdot b) \cdot b = b \cdot (a \cdot a \cdot b)$.
Ответ: $b(a^2b)$

Явно укажем операцию умножения между степенями с помощью скобок.
Ответ: $(a^2)(b^2)$

Запишем одночлен в виде произведения всех его первоначальных множителей, используя явные знаки умножения.
Ответ: $a \cdot a \cdot b \cdot b$

116. Подчеркните одночлены с одинаковой буквенной частью одинаковыми линиями:

3a + 3b - a

а) $12b^2 - 7a + b^2 + a;$

б) $x^2 + 3y^2 - 5x^2 + 2y;б

в) $4x^2 + 2x - 3 - x;$

г) $x^2 - 3x + 1 - x^2 + 3x - 1;$

д) $x^2 + 3x^3 - 4x^2 + 5x^3.$

Задача состоит в том, чтобы найти и подчеркнуть в каждом выражении одночлены с одинаковой буквенной частью (их также называют подобными членами). Для каждой группы подобных членов будем использовать свой тип подчеркивания.

а) $12b^2 - 7a + b^2 + a$

В этом выражении есть две группы подобных членов:

1. Одночлены с буквенной частью $b^2$: это $12b^2$ и $b^2$. Подчеркнем их одной сплошной линией.
2. Одночлены с буквенной частью $a$: это $-7a$ и $a$. Подчеркнем их двойной линией.

Визуально это выглядит так: $12b^2$ $-7a$ + $b^2$ + $a$.

Если привести подобные слагаемые, получится: $(12+1)b^2 + (-7+1)a = 13b^2 - 6a$.

Ответ: Группы подобных членов: ($12b^2$, $b^2$) и ($-7a$, $a$).

б) $x^2 + 3y^2 - 5x^2 + 2y$

В данном выражении только одна группа подобных членов:

1. Одночлены с буквенной частью $x^2$: это $x^2$ и $-5x^2$. Подчеркнем их одной линией.

Одночлены $3y^2$ и $2y$ не имеют подобных себе в этом выражении, так как их буквенные части ($y^2$ и $y$) уникальны.

Визуально это выглядит так: $x^2$ + $3y^2$ $-5x^2$ + $2y$.

Приведение подобных слагаемых: $(1-5)x^2 + 3y^2 + 2y = -4x^2 + 3y^2 + 2y$.

Ответ: Группа подобных членов: ($x^2$, $-5x^2$).

в) $4x^2 + 2x - 3 - x$

Здесь также одна группа подобных членов:

1. Одночлены с буквенной частью $x$: это $2x$ и $-x$. Подчеркнем их одной линией.

Члены $4x^2$ и $-3$ (свободный член) не имеют подобных.

Визуально это выглядит так: $4x^2$ + $2x$ $-3$ $-x$.

Упрощение выражения: $4x^2 + (2-1)x - 3 = 4x^2 + x - 3$.

Ответ: Группа подобных членов: ($2x$, $-x$).

г) $x^2 - 3x + 1 - x^2 + 3x - 1$

В этом выражении целых три группы подобных членов:

1. Одночлены с буквенной частью $x^2$: это $x^2$ и $-x^2$. Подчеркнем их одной сплошной линией.
2. Одночлены с буквенной частью $x$: это $-3x$ и $3x$. Подчеркнем их двойной линией.
3. Свободные члены (числа): это $1$ и $-1$. Подчеркнем их волнистой линией.

Визуально это выглядит так: $x^2$ $-3x$ + $1$ $-x^2$ + $3x$ $-1$.

Приведение подобных слагаемых приводит к интересному результату: $(1-1)x^2 + (-3+3)x + (1-1) = 0x^2 + 0x + 0 = 0$.

Ответ: Группы подобных членов: ($x^2$, $-x^2$), ($-3x$, $3x$) и ($1$, $-1$).

д) $x^2 + 3x^3 - 4x^2 + 5x^3$

В этом выражении две группы подобных членов:

1. Одночлены с буквенной частью $x^2$: это $x^2$ и $-4x^2$. Подчеркнем их одной сплошной линией.
2. Одночлены с буквенной частью $x^3$: это $3x^3$ и $5x^3$. Подчеркнем их двойной линией.

Визуально это выглядит так: $x^2$ + $3x^3$ $-4x^2$ + $5x^3$.

Упростим выражение: $(1-4)x^2 + (3+5)x^3 = -3x^2 + 8x^3$.

Ответ: Группы подобных членов: ($x^2$, $-4x^2$) и ($3x^3$, $5x^3$).

117. Запишите в клетки таблицы произведения одночленов, стоящих в верхней строке и в левом столбце.

$3a$

$4b$

$5ab$

$6a^2b$

$7ab^2$

$a$

$3a^2$

$b$

Для заполнения таблицы необходимо для каждой пустой ячейки вычислить произведение одночлена, стоящего в заголовке соответствующей строки, и одночлена из заголовка соответствующего столбца. Произведение одночленов находится путем перемножения их коэффициентов и перемножения степеней с одинаковыми основаниями (при этом их показатели складываются).

Заполнение ячеек первой строки (множитель a)

Пересечение строки 'a' и столбца '3a':
Вычисляем произведение $a \cdot 3a$. Это произведение уже дано в примере.
$a \cdot 3a = 3 \cdot a^1 \cdot a^1 = 3a^{1+1} = 3a^2$.
Ответ: $3a^2$.

Пересечение строки 'a' и столбца '4b':
Вычисляем произведение $a \cdot 4b$.
$a \cdot 4b = 4ab$.
Ответ: $4ab$.

Пересечение строки 'a' и столбца '5ab':
Вычисляем произведение $a \cdot 5ab$.
$a \cdot 5ab = 5 \cdot (a \cdot a) \cdot b = 5a^{1+1}b = 5a^2b$.
Ответ: $5a^2b$.

Пересечение строки 'a' и столбца '$6a^2b$':
Вычисляем произведение $a \cdot 6a^2b$.
$a \cdot 6a^2b = 6 \cdot (a \cdot a^2) \cdot b = 6a^{1+2}b = 6a^3b$.
Ответ: $6a^3b$.

Пересечение строки 'a' и столбца '$7ab^2$':
Вычисляем произведение $a \cdot 7ab^2$.
$a \cdot 7ab^2 = 7 \cdot (a \cdot a) \cdot b^2 = 7a^{1+1}b^2 = 7a^2b^2$.
Ответ: $7a^2b^2$.

Заполнение ячеек второй строки (множитель b)

Пересечение строки 'b' и столбца '3a':
Вычисляем произведение $b \cdot 3a$.
$b \cdot 3a = 3ab$.
Ответ: $3ab$.

Пересечение строки 'b' и столбца '4b':
Вычисляем произведение $b \cdot 4b$.
$b \cdot 4b = 4 \cdot (b \cdot b) = 4b^{1+1} = 4b^2$.
Ответ: $4b^2$.

Пересечение строки 'b' и столбца '5ab':
Вычисляем произведение $b \cdot 5ab$.
$b \cdot 5ab = 5 \cdot a \cdot (b \cdot b) = 5ab^{1+1} = 5ab^2$.
Ответ: $5ab^2$.

Пересечение строки 'b' и столбца '$6a^2b$':
Вычисляем произведение $b \cdot 6a^2b$.
$b \cdot 6a^2b = 6 \cdot a^2 \cdot (b \cdot b) = 6a^2b^{1+1} = 6a^2b^2$.
Ответ: $6a^2b^2$.

Пересечение строки 'b' и столбца '$7ab^2$':
Вычисляем произведение $b \cdot 7ab^2$.
$b \cdot 7ab^2 = 7 \cdot a \cdot (b \cdot b^2) = 7ab^{1+2} = 7ab^3$.
Ответ: $7ab^3$.

В результате получаем следующую заполненную таблицу:

304. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $ \begin{cases} 7x + 8y - 11 = 0, \\ 7x + 8y + 11 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + 2y - 1 = 0, \\ 2x + 4y - 2 = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x - y - 2 = 0, \\ x + y - 8 = 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x + 2y + 1 = 0, \\ x + 2y + 3 = 0? \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7x + 8y - 11 = 0 \\ 7x + 8y + 11 = 0 \end{cases}$

Чтобы определить количество решений, можно проанализировать коэффициенты уравнений вида $Ax + By + C = 0$.

Для первого уравнения: $A_1 = 7, B_1 = 8, C_1 = -11$.

Для второго уравнения: $A_2 = 7, B_2 = 8, C_2 = 11$.

Сравним отношения коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{7} = 1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{8}{8} = 1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{-11}{11} = -1$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, графики этих уравнений являются параллельными прямыми, которые не пересекаются. Следовательно, система не имеет общих точек, а значит и решений.

Другой способ — вычесть из первого уравнения второе:

$(7x + 8y - 11) - (7x + 8y + 11) = 0$

$7x + 8y - 11 - 7x - 8y - 11 = 0$

$-22 = 0$

Получено неверное равенство, которое не зависит от переменных $x$ и $y$. Это означает, что система несовместна.

Ответ: система не имеет решений.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ 2x + 4y - 2 = 0 \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы: $2x + 4y - 2 = 0$. Разделим все его члены на 2:

$\frac{2x}{2} + \frac{4y}{2} - \frac{2}{2} = \frac{0}{2}$

$x + 2y - 1 = 0$

Полученное уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Любая точка, принадлежащая этой прямой, является решением системы. Поскольку на прямой лежит бесконечное множество точек, система имеет бесконечно много решений.

Анализ коэффициентов также подтверждает это:

$A_1 = 1, B_1 = 2, C_1 = -1$

$A_2 = 2, B_2 = 4, C_2 = -2$

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, уравнения эквивалентны.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов при переменных:

$A_1=1, B_1=-1$

$A_2=1, B_2=1$

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-1}{1} = -1$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, графики уравнений — это прямые, которые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение. Найдем его, чтобы убедиться.

Воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - y - 2) + (x + y - 8) = 0 + 0$

$2x - 10 = 0$

$2x = 10$

$x = 5$

Теперь подставим значение $x=5$ в первое уравнение:

$5 - y - 2 = 0$

$3 - y = 0$

$y = 3$

Система имеет единственное решение $(5, 3)$.

Ответ: система имеет одно решение.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y + 1 = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов при переменных:

$A_1=3, B_1=2$

$A_2=1, B_2=2$

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{1} = 3$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{2} = 1$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, система имеет одно решение. Найдем его методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(3x + 2y + 1) - (x + 2y + 3) = 0$

$3x + 2y + 1 - x - 2y - 3 = 0$

$2x - 2 = 0$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ во второе уравнение:

$1 + 2y + 3 = 0$

$4 + 2y = 0$

$2y = -4$

$y = -2$

Система имеет единственное решение $(1, -2)$.

Ответ: система имеет одно решение.

305. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 3x - 12 = 0, \\ x + 8y + 12 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2y - 4 = 0, \\ 2x + 3y - 4 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 1 = 0, \\ x + y - 1 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x - 2y - 7 = 0, \\ x + y = 0. \end{cases}$

а) В данной системе $\begin{cases} 3x - 12 = 0 \\ x + 8y + 12 = 0 \end{cases}$ первое уравнение содержит только одну переменную $x$. Решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$3x - 12 = 0$
$3x = 12$
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$
Теперь подставим найденное значение $x=4$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$:
$4 + 8y + 12 = 0$
$8y + 16 = 0$
$8y = -16$
$y = \frac{-16}{8}$
$y = -2$
Таким образом, решение системы — это пара чисел $(4; -2)$.
Ответ: $(4; -2)$

б) Рассмотрим систему $\begin{cases} 2y - 4 = 0 \\ 2x + 3y - 4 = 0 \end{cases}$. В этой системе первое уравнение зависит только от переменной $y$. Найдем из него значение $y$:
$2y - 4 = 0$
$2y = 4$
$y = \frac{4}{2}$
$y = 2$
Подставим значение $y=2$ во второе уравнение:
$2x + 3(2) - 4 = 0$
$2x + 6 - 4 = 0$
$2x + 2 = 0$
$2x = -2$
$x = \frac{-2}{2}$
$x = -1$
Решением системы является пара чисел $(-1; 2)$.
Ответ: $(-1; 2)$

в) Дана система $\begin{cases} x + 1 = 0 \\ x + y - 1 = 0 \end{cases}$. Из первого уравнения легко найти значение $x$:
$x + 1 = 0$
$x = -1$
Подставим $x = -1$ во второе уравнение системы:
$(-1) + y - 1 = 0$
$y - 2 = 0$
$y = 2$
Решением системы является пара чисел $(-1; 2)$.
Ответ: $(-1; 2)$

г) Рассмотрим систему $\begin{cases} 5x - 2y - 7 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$. Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную $y$ из второго уравнения:
$x + y = 0$
$y = -x$
Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$5x - 2(-x) - 7 = 0$
$5x + 2x - 7 = 0$
$7x - 7 = 0$
$7x = 7$
$x = 1$
Теперь, зная $x$, найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = -x$:
$y = -1$
Решением системы является пара чисел $(1; -1)$.
Ответ: $(1; -1)$