Страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

118. Найдите произведения одночленов, стоящих в верхней строке и в левом столбце таблицы. Заполните таблицу.

Верхняя строка содержит одночлены: $-2a$, $3b$, $-4ab$, $5a^2b$, $-7ab^2$

Левый столбец содержит одночлены: $2a^3$, $-3b^2$

Заполненная таблица:

Строка, соответствующая $2a^3$:

$-4a^4$

$6a^3b$

$-8a^4b$

$10a^5b$

$-14a^4b^2$

Строка, соответствующая $-3b^2$:

$6ab^2$

$-9b^3$

$12ab^3$

$-15a^2b^3$

$21ab^4$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо последовательно перемножить каждый одночлен из левого столбца на каждый одночлен из верхней строки. Результат каждого умножения записывается в соответствующую ячейку таблицы.

Произведение $2a^3$ и $-2a$: $2a^3 \cdot (-2a) = (2 \cdot (-2)) \cdot (a^3 \cdot a) = -4a^{3+1} = -4a^4$. Этот результат уже приведен в таблице в качестве примера.
Ответ: $-4a^4$

Произведение $2a^3$ и $3b$: $2a^3 \cdot (3b) = (2 \cdot 3) \cdot (a^3 \cdot b) = 6a^3b$.
Ответ: $6a^3b$

Произведение $2a^3$ и $-4ab$: $2a^3 \cdot (-4ab) = (2 \cdot (-4)) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot b = -8a^{3+1}b = -8a^4b$.
Ответ: $-8a^4b$

Произведение $2a^3$ и $5a^2b$: $2a^3 \cdot (5a^2b) = (2 \cdot 5) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot b = 10a^{3+2}b = 10a^5b$.
Ответ: $10a^5b$

Произведение $2a^3$ и $-7ab^2$: $2a^3 \cdot (-7ab^2) = (2 \cdot (-7)) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot b^2 = -14a^{3+1}b^2 = -14a^4b^2$.
Ответ: $-14a^4b^2$

Произведение $-3b^2$ и $-2a$: $(-3b^2) \cdot (-2a) = (-3 \cdot (-2)) \cdot (a \cdot b^2) = 6ab^2$.
Ответ: $6ab^2$

Произведение $-3b^2$ и $3b$: $(-3b^2) \cdot (3b) = (-3 \cdot 3) \cdot (b^2 \cdot b) = -9b^{2+1} = -9b^3$.
Ответ: $-9b^3$

Произведение $-3b^2$ и $-4ab$: $(-3b^2) \cdot (-4ab) = (-3 \cdot (-4)) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b) = 12ab^{2+1} = 12ab^3$.
Ответ: $12ab^3$

Произведение $-3b^2$ и $5a^2b$: $(-3b^2) \cdot (5a^2b) = (-3 \cdot 5) \cdot a^2 \cdot (b^2 \cdot b) = -15a^2b^{2+1} = -15a^2b^3$.
Ответ: $-15a^2b^3$

Произведение $-3b^2$ и $-7ab^2$: $(-3b^2) \cdot (-7ab^2) = (-3 \cdot (-7)) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b^2) = 21ab^{2+2} = 21ab^4$.
Ответ: $21ab^4$

Итоговая заполненная таблица:

119. Найдите одночлен, равный произведению одночленов:

а) $3ab^2 \cdot 2ab = \dots$

б) $2b^3 \cdot (-1,5a^2b) = \dots$

в) $-5a^3 \cdot 4ab^2 = \dots$

г) $-4ab^3 \cdot (-2,5a^4b^2) = \dots$

а) Чтобы найти произведение одночленов $3ab^2$ и $2ab$, нужно перемножить их числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями (переменными), сложив их показатели.
$3ab^2 \cdot 2ab = (3 \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b) = 6 \cdot a^{1+1} \cdot b^{2+1} = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3$.

б) Найдём произведение одночленов $2b^3$ и $(-1,5a^2b)$. Для этого сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные.
$2b^3 \cdot (-1,5a^2b) = (2 \cdot (-1,5)) \cdot a^2 \cdot (b^3 \cdot b) = -3 \cdot a^2 \cdot b^{3+1} = -3a^2b^4$.
Ответ: $-3a^2b^4$.

в) Чтобы найти произведение одночленов $-5a^3$ и $4ab^2$, выполним умножение коэффициентов и соответствующих переменных.
$-5a^3 \cdot 4ab^2 = (-5 \cdot 4) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot b^2 = -20 \cdot a^{3+1} \cdot b^2 = -20a^4b^2$.
Ответ: $-20a^4b^2$.

г) Найдём произведение одночленов $-4ab^3$ и $(-2,5a^4b^2)$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.
$-4ab^3 \cdot (-2,5a^4b^2) = (-4 \cdot (-2,5)) \cdot (a \cdot a^4) \cdot (b^3 \cdot b^2) = 10 \cdot a^{1+4} \cdot b^{3+2} = 10a^5b^5$.
Ответ: $10a^5b^5$.

120. Упростите запись одночлена:

а) $3aaaaa = .... .... .... ....$

б) $2bb5aab = .... .... .... .... .... ....$

в) $-7bbb4aaa = .... .... ....$

г) $-4ab7abab = .... .... .... .... .... ....$

а)

Чтобы упростить запись одночлена $3aaaa$, нужно представить произведение одинаковых множителей в виде степени.
В данном выражении переменная $a$ умножается сама на себя 4 раза: $a \cdot a \cdot a \cdot a$.
Это произведение можно записать как $a^4$.
Числовой коэффициент равен 3.
Таким образом, одночлен принимает вид: $3a^4$.

Ответ: $3a^4$

б)

Для упрощения одночлена $2bb5aab$ необходимо привести его к стандартному виду. Для этого нужно:
1. Перемножить числовые коэффициенты: $2 \cdot 5 = 10$.
2. Сгруппировать одинаковые переменные и записать их в виде степеней. Переменные принято располагать в алфавитном порядке.
- Для переменной $a$: $a \cdot a = a^2$.
- Для переменной $b$: $b \cdot b \cdot b = b^3$.
3. Записать результат, умножив числовой коэффициент на степени переменных: $10 \cdot a^2 \cdot b^3$.
Итоговое выражение: $2bb5aab = (2 \cdot 5) \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b \cdot b) = 10a^2b^3$.

Ответ: $10a^2b^3$

в)

Чтобы упростить одночлен $-7bbb4aaa$, приведем его к стандартному виду.
1. Найдем произведение числовых коэффициентов: $-7 \cdot 4 = -28$.
2. Сгруппируем переменные и запишем их в виде степеней в алфавитном порядке.
- Для переменной $a$: $a \cdot a \cdot a = a^3$.
- Для переменной $b$: $b \cdot b \cdot b = b^3$.
3. Соединим все части вместе.
Получаем: $-7bbb4aaa = (-7 \cdot 4) \cdot (a \cdot a \cdot a) \cdot (b \cdot b \cdot b) = -28a^3b^3$.

Ответ: $-28a^3b^3$

г)

Для упрощения одночлена $-4ab7abab$ приведем его к стандартному виду.
1. Перемножим числовые коэффициенты: $-4 \cdot 7 = -28$.
2. Сгруппируем одинаковые переменные. Для этого посчитаем количество каждой переменной в выражении и запишем в виде степени. Переменные расположим в алфавитном порядке.
- Переменная $a$ встречается 3 раза ($a \cdot a \cdot a$), что равно $a^3$.
- Переменная $b$ встречается 3 раза ($b \cdot b \cdot b$), что равно $b^3$.
3. Запишем итоговый одночлен.
Выражение имеет вид: $-4ab7abab = (-4 \cdot 7) \cdot (a \cdot a \cdot a) \cdot (b \cdot b \cdot b) = -28a^3b^3$.

Ответ: $-28a^3b^3$

121. Упростите запись одночлена, используя свойства степени:

а) $a^3 \cdot a^2 = \dots$

б) $(-a)^2 \cdot (-a)^3 = \dots$

в) $(3a)^2 = \dots$

г) $(2ab^2)^3 = \dots$

д) $(-4a^4b^5)^2 = \dots$

е) $(-a^2b^4)^3 = \dots$

а) Для упрощения выражения $a^3 \cdot a^2$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. В данном случае основание равно $a$, а показатели степеней – 3 и 2.

Применяя это свойство, складываем показатели степеней:

$a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$

Ответ: $a^5$

б) В выражении $(-a)^2 \cdot (-a)^3$ основание степени равно $(-a)$. Используем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Складываем показатели:

$(-a)^2 \cdot (-a)^3 = (-a)^{2+3} = (-a)^5$

Так как показатель степени 5 является нечетным числом, знак минус сохраняется:

$(-a)^5 = -a^5$

Ответ: $-a^5$

в) Для упрощения выражения $(3a)^2$ применяется свойство возведения произведения в степень: $(xy)^n = x^n y^n$. Каждый множитель в скобках возводится в указанную степень.

Возводим каждый множитель в квадрат:

$(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$

Ответ: $9a^2$

г) В выражении $(2ab^2)^3$ мы также используем свойство возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$, а для множителя $b^2$ — свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Возводим каждый множитель в куб:

$(2ab^2)^3 = 2^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3$

Вычисляем степени: $2^3 = 8$ и $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.

Собираем все вместе: $8 \cdot a^3 \cdot b^6 = 8a^3b^6$.

Ответ: $8a^3b^6$

д) Упрощаем $(-4a^4b^5)^2$. Используем те же свойства, что и в предыдущем примере. Важно помнить, что отрицательное число, возведенное в четную степень (2), становится положительным.

Возводим каждый множитель в квадрат:

$(-4a^4b^5)^2 = (-4)^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^5)^2$

Выполняем вычисления: $(-4)^2 = 16$, $(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$, и $(b^5)^2 = b^{5 \cdot 2} = b^{10}$.

Результат: $16a^8b^{10}$.

Ответ: $16a^8b^{10}$

е) Упрощаем $(-a^2b^4)^3$. Здесь одночлен возводится в нечетную степень (3), поэтому знак минус сохранится.

Представим выражение как $(-1 \cdot a^2 \cdot b^4)^3$ и возведем каждый множитель в куб:

$(-a^2b^4)^3 = (-1)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^4)^3$

Вычисляем степени: $(-1)^3 = -1$, $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$, и $(b^4)^3 = b^{4 \cdot 3} = b^{12}$.

Соединяем результаты: $-1 \cdot a^6 \cdot b^{12} = -a^6b^{12}$.

Ответ: $-a^6b^{12}$

122. Представьте данный одночлен в виде квадрата другого одночлена:

а) $a^6 = \dots$

б) $9a^2b^4 = \dots$

в) $16a^2b^4c^6 = \dots$

г) $25a^6b^8 = \dots$

д) $49a^4b^{12} = \dots$

е) $100a^{12}b^{14} = \dots$

Чтобы представить данный одночлен в виде квадрата другого одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Это равносильно извлечению квадратного корня из данного одночлена. Для этого нужно извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить каждый показатель степени переменной на 2, используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

а) Дано $a^6$. Чтобы представить его в виде квадрата, нужно найти такое выражение $X$, что $X^2 = a^6$. Используя свойство степени, имеем $(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.
Следовательно, искомое представление: $(a^3)^2$.
Ответ: $(a^3)^2$.

б) Дано $9a^2b^4$. Представим каждый множитель в виде квадрата:
$9 = 3^2$
$a^2 = (a^1)^2 = (a)^2$
$b^4 = (b^2)^2$
Объединяя, получаем: $9a^2b^4 = 3^2 \cdot (a)^2 \cdot (b^2)^2 = (3ab^2)^2$.
Ответ: $(3ab^2)^2$.

в) Дано $16a^2b^4c^6$. Представим каждый множитель в виде квадрата:
$16 = 4^2$
$a^2 = (a)^2$
$b^4 = (b^2)^2$
$c^6 = (c^3)^2$
Следовательно, $16a^2b^4c^6 = (4ab^2c^3)^2$.
Ответ: $(4ab^2c^3)^2$.

г) Дано $25a^6b^8$. Представим каждый множитель в виде квадрата:
$25 = 5^2$
$a^6 = (a^3)^2$
$b^8 = (b^4)^2$
Следовательно, $25a^6b^8 = (5a^3b^4)^2$.
Ответ: $(5a^3b^4)^2$.

д) Дано $49a^4b^{12}$. Представим каждый множитель в виде квадрата:
$49 = 7^2$
$a^4 = (a^2)^2$
$b^{12} = (b^6)^2$
Следовательно, $49a^4b^{12} = (7a^2b^6)^2$.
Ответ: $(7a^2b^6)^2$.

е) Дано $100a^{12}b^{14}$. Представим каждый множитель в виде квадрата:
$100 = 10^2$
$a^{12} = (a^6)^2$
$b^{14} = (b^7)^2$
Следовательно, $100a^{12}b^{14} = (10a^6b^7)^2$.
Ответ: $(10a^6b^7)^2$.

123. Представьте данный одночлен в виде куба другого одночлена:

а) $a^6 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

б) $-27a^3b^6 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

в) $8a^6b^9c^{12} = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

г) $-125a^6b^{18} = \dots$

д) $64a^{27}b^{15} = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

е) $-1000a^{21}b^{24} = \dots$

а) Чтобы представить одночлен $a^6$ в виде куба другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст $a^6$. Воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Ищем одночлен в виде $a^x$. Тогда $(a^x)^3 = a^{3x}$. Приравниваем результат к исходному одночлену: $a^{3x} = a^6$. Отсюда следует, что показатели степеней должны быть равны: $3x = 6$, значит $x=2$. Таким образом, искомый одночлен — это $a^2$.
Ответ: $(a^2)^3$

б) Чтобы представить одночлен $-27a^3b^6$ в виде куба, необходимо найти кубический корень из числового коэффициента и разделить показатель каждой степени на 3. Кубический корень из $-27$ равен $-3$, так как $(-3)^3 = -27$. Для переменной $a$ новый показатель степени будет $3 \div 3 = 1$. Для переменной $b$ новый показатель степени будет $6 \div 3 = 2$. Таким образом, искомый одночлен равен $-3a^1b^2$ или $-3ab^2$.
Ответ: $(-3ab^2)^3$

в) Представим одночлен $8a^6b^9c^{12}$ в виде куба. Для этого извлечем кубический корень из коэффициента 8, что равно 2. Затем разделим показатели степеней всех переменных на 3: для $a$ получаем $6 \div 3 = 2$, для $b$ получаем $9 \div 3 = 3$, и для $c$ получаем $12 \div 3 = 4$. В результате получаем одночлен $2a^2b^3c^4$.
Ответ: $(2a^2b^3c^4)^3$

г) Для представления одночлена $-125a^6b^{18}$ в виде куба, найдем кубический корень из $-125$, который равен $-5$. Разделим показатели степеней переменных на 3: для $a$ получаем $6 \div 3 = 2$, для $b$ получаем $18 \div 3 = 6$. Искомый одночлен — это $-5a^2b^6$.
Ответ: $(-5a^2b^6)^3$

д) Представим $64a^{27}b^{15}$ как куб другого одночлена. Кубический корень из 64 равен 4. Показатели степеней делим на 3: для $a$ получаем $27 \div 3 = 9$, для $b$ получаем $15 \div 3 = 5$. Таким образом, получаем одночлен $4a^9b^5$.
Ответ: $(4a^9b^5)^3$

е) Чтобы представить $-1000a^{21}b^{24}$ в виде куба, извлечем кубический корень из коэффициента $-1000$, что дает $-10$. Разделим показатели степеней на 3: для $a$ получаем $21 \div 3 = 7$, для $b$ получаем $24 \div 3 = 8$. Итоговый одночлен: $-10a^7b^8$.
Ответ: $(-10a^7b^8)^3$

306. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} 1,1x + 0,2y + 1 = 0, \\ 11x + 2y + 10 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 2,5y + 2 = 0, \\ 4x + 5y - 6 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 2y + 3 = 0, \\ 4x + 5y + 6 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2y - 8 = 0, \\ x + 2y + 8 = 0? \end{cases}$

а) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} 1.1x + 0.2y + 1 = 0 \\ 11x + 2y + 10 = 0 \end{cases} $.
Для определения количества решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases} $ необходимо сравнить отношения их коэффициентов.
В данной системе коэффициенты равны: $a_1 = 1.1$, $b_1 = 0.2$, $c_1 = 1$ и $a_2 = 11$, $b_2 = 2$, $c_2 = 10$.
Вычислим отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1.1}{11} = \frac{1}{10} $.
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{0.2}{2} = \frac{1}{10} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{10} $.
Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, уравнения в системе являются пропорциональными. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: бесконечно много решений.

б) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + 2.5y + 2 = 0 \\ 4x + 5y - 6 = 0 \end{cases} $.
Применим метод сравнения коэффициентов. Коэффициенты уравнений: $a_1 = 2$, $b_1 = 2.5$, $c_1 = 2$ и $a_2 = 4$, $b_2 = 5$, $c_2 = -6$.
Найдем отношения коэффициентов:
Отношение при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
Отношение при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $.
В данном случае выполняется условие $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $. Это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, параллельны, но не совпадают. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: нет решений.

в) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} x + 2y + 3 = 0 \\ 4x + 5y + 6 = 0 \end{cases} $.
Коэффициенты уравнений: $a_1 = 1$, $b_1 = 2$, $c_1 = 3$ и $a_2 = 4$, $b_2 = 5$, $c_2 = 6$.
Сравним отношения коэффициентов при переменных:
Отношение при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{4} $.
Отношение при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{5} $.
Так как $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ ($ \frac{1}{4} \neq \frac{2}{5} $), то прямые, описываемые уравнениями, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.
Ответ: одно решение.

г) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} x - 2y - 8 = 0 \\ x + 2y + 8 = 0 \end{cases} $.
Коэффициенты уравнений: $a_1 = 1$, $b_1 = -2$, $c_1 = -8$ и $a_2 = 1$, $b_2 = 2$, $c_2 = 8$.
Сравним отношения коэффициентов при переменных:
Отношение при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1 $.
Отношение при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{2} = -1 $.
Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ ($1 \neq -1$), прямые пересекаются. Это означает, что система имеет ровно одно решение.
Ответ: одно решение.