Страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

101. В $x$ л раствора содержится $5 \\%$ уксуса. Сколько литров воды надо добавить, чтобы снизить содержание уксуса в растворе до $2 \\%$?

Для решения этой задачи необходимо определить количество чистого уксуса в исходном растворе. Это количество не изменится при добавлении воды.

Исходные данные:

• Общий объем раствора: $x$ л.
• Концентрация уксуса: $5\%$ или $0.05$.

1. Найдем объем чистого уксуса в исходном растворе. Для этого умножим общий объем раствора на концентрацию уксуса:

$V_{уксуса} = x \cdot 0.05 = 0.05x$ л.

2. Обозначим количество воды, которое нужно добавить, через $y$ л. После добавления воды новый общий объем раствора станет $(x + y)$ л, а количество чистого уксуса останется прежним, то есть $0.05x$ л.

3. По условию, новая концентрация уксуса в растворе должна составить $2\%$ или $0.02$. Новая концентрация — это отношение объема чистого уксуса к новому общему объему раствора. Составим уравнение:

$\frac{V_{уксуса}}{\text{Новый объем раствора}} = \text{Новая концентрация}$

$\frac{0.05x}{x + y} = 0.02$

4. Решим это уравнение относительно $y$, чтобы найти необходимое количество воды:

$0.05x = 0.02 \cdot (x + y)$

$0.05x = 0.02x + 0.02y$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону:

$0.05x - 0.02x = 0.02y$

$0.03x = 0.02y$

Теперь выразим $y$:

$y = \frac{0.03x}{0.02}$

$y = \frac{3}{2}x$

$y = 1.5x$

Таким образом, чтобы снизить концентрацию уксуса до $2\%$, необходимо добавить $1.5x$ литров воды.

Ответ: $1.5x$ л.

102. Первый кусок сплава массой 200 г содержал $x \%$ олова, а второй массой 300 г — $20 \%$ олова. Сколько процентов олова будет содержать новый сплав, полученный сплавлением этих кусков?

Для решения этой задачи найдем общую массу полученного сплава и общую массу олова в нем. Затем вычислим процентное содержание олова в новом сплаве.

1. Вычислим массу олова в первом куске сплава.
Масса первого куска составляет 200 г, а содержание олова в нем равно $x$ %. Чтобы найти массу олова в граммах, нужно массу всего куска умножить на долю олова:
$m_{олова1} = 200 \cdot \frac{x}{100} = 2x$ г.

2. Вычислим массу олова во втором куске сплава.
Масса второго куска составляет 300 г, а содержание олова в нем равно 20 %. Масса олова в этом куске:
$m_{олова2} = 300 \cdot \frac{20}{100} = 300 \cdot 0.2 = 60$ г.

3. Найдем общую массу нового сплава.
Она равна сумме масс исходных кусков:
$M_{сплава} = 200 + 300 = 500$ г.

4. Найдем общую массу олова в новом сплаве.
Она равна сумме масс олова из двух кусков:
$M_{олова} = m_{олова1} + m_{олова2} = 2x + 60$ г.

5. Вычислим процентное содержание олова в новом сплаве.
Для этого разделим общую массу олова на общую массу сплава и умножим результат на 100%:
$P_{олова} = \frac{M_{олова}}{M_{сплава}} \cdot 100\% = \frac{2x + 60}{500} \cdot 100\%$.

Сократим множитель 100 в числителе и 500 в знаменателе:
$P_{олова} = \frac{2x + 60}{5} = \frac{2x}{5} + \frac{60}{5} = 0.4x + 12$ %.

Ответ: $(0.4x + 12)$ %.

298. Решите систему уравнений способом уравнивания коэффициентов:

a) $\begin{cases} 2x + 7y + 12 = 0 \\ -3x + 7y + 17 = 0 \end{cases}$

Вычтем из первого уравнения системы второе и решим полученное уравнение:

$5x - 5 = 0;$

..........

..........

Подставим найденное значение x в первое уравнение системы и из полученного уравнения найдём значение y:

$2 \cdot ..... + 7y + 12 = 0;$

..........

..........

..........

Решение системы: $(....; ....).$

c) $\begin{cases} 7x - 2y - 11 = 0 \\ 3x - 2y + 1 = 0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} 5x - 2y - 19 = 0 \\ 5x + 8y - 49 = 0 \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 7y + 12 = 0 \\ -3x + 7y + 17 = 0 \end{cases} $

Для решения системы методом уравнивания коэффициентов заметим, что коэффициенты при переменной $y$ в обоих уравнениях равны. Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить переменную $y$.

$(2x + 7y + 12) - (-3x + 7y + 17) = 0$

Раскроем скобки:

$2x + 7y + 12 + 3x - 7y - 17 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x + 3x) + (7y - 7y) + (12 - 17) = 0$

$5x - 5 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$5x = 5$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x = 1$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти значение $y$:

$2 \cdot 1 + 7y + 12 = 0$

$2 + 7y + 12 = 0$

$14 + 7y = 0$

$7y = -14$

$y = -2$

Решением системы является пара чисел $(1; -2)$.

Ответ: $(1; -2)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 2y - 11 = 0 \\ 3x - 2y + 1 = 0 \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $y$ в обоих уравнениях равны ($-2$). Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить переменную $y$.

$(7x - 2y - 11) - (3x - 2y + 1) = 0$

$7x - 2y - 11 - 3x + 2y - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(7x - 3x) + (-2y + 2y) + (-11 - 1) = 0$

$4x - 12 = 0$

Решим полученное уравнение:

$4x = 12$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x = 3$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$3 \cdot 3 - 2y + 1 = 0$

$9 - 2y + 1 = 0$

$10 - 2y = 0$

$10 = 2y$

$y = 5$

Решением системы является пара чисел $(3; 5)$.

Ответ: $(3; 5)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 2y - 19 = 0 \\ 5x + 8y - 49 = 0 \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях равны ($5$). Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить переменную $x$.

$(5x - 2y - 19) - (5x + 8y - 49) = 0$

$5x - 2y - 19 - 5x - 8y + 49 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(5x - 5x) + (-2y - 8y) + (-19 + 49) = 0$

$-10y + 30 = 0$

Решим полученное уравнение:

$-10y = -30$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y = 3$ в первое уравнение системы:

$5x - 2 \cdot 3 - 19 = 0$

$5x - 6 - 19 = 0$

$5x - 25 = 0$

$5x = 25$

$x = 5$

Решением системы является пара чисел $(5; 3)$.

Ответ: $(5; 3)$.