Страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

97. Найдите значение буквенного выражения $ \frac{2b-3}{b+4} $ при заданном значении $b$:

а) если $b = 1$, то $ \frac{2b-3}{b+4} = \dots $

б) если $b = 2$, то $ \frac{2b-3}{b+4} = \dots $

Для того чтобы найти значение буквенного выражения $\frac{2b-3}{b+4}$ при заданных значениях $b$, необходимо подставить эти значения в выражение и выполнить вычисления.

а) если b = 1

Подставляем значение $b = 1$ в выражение:

$\frac{2b-3}{b+4} = \frac{2 \cdot 1 - 3}{1 + 4}$

Выполняем вычисления в числителе и знаменателе:

$\frac{2 - 3}{5} = \frac{-1}{5}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{-1}{5} = -0,2$

Ответ: $-0,2$

б) если b = 2

Подставляем значение $b = 2$ в выражение:

$\frac{2b-3}{b+4} = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2 + 4}$

Выполняем вычисления в числителе и знаменателе:

$\frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}$

Данная дробь является несократимой и представляет собой бесконечную периодическую десятичную дробь, поэтому оставляем ответ в виде обыкновенной дроби.

Ответ: $\frac{1}{6}$

98. Сестре 5 лет, брат старше сестры на $x$ лет. Во сколько раз брат старше сестры?

Для решения данной задачи необходимо составить выражение на основе предоставленных данных.

Возраст сестры составляет $5$ лет.
Брат старше сестры на $x$ лет, следовательно, его возраст можно найти, прибавив $x$ к возрасту сестры.
Возраст брата = $5 + x$ (лет).

Чтобы определить, во сколько раз брат старше сестры, необходимо найти отношение их возрастов, то есть разделить возраст брата на возраст сестры.
Отношение возрастов = $\frac{\text{возраст брата}}{\text{возраст сестры}} = \frac{5 + x}{5}$.

Таким образом, полученное выражение является ответом на вопрос задачи.

Ответ: брат старше сестры в $\frac{5 + x}{5}$ раз.

99. Машина с грузом ехала 2 ч со скоростью 60 км/ч, потом без груза — 3 ч со скоростью $x$ км/ч. Определите среднюю скорость движения машины за всё время.

1) Сколько всего времени ехала машина?

.......................

2) Какой путь проехала машина за всё время?

.......................

3) Какова средняя скорость машины за всё время?

.......................

1) Сколько всего времени ехала машина?

Чтобы найти общее время движения машины, необходимо сложить время, затраченное на каждый участок пути.
Первый участок пути машина ехала 2 часа, а второй — 3 часа.
Общее время $T$ равно сумме времен:
$T = t_1 + t_2 = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$.

Ответ: 5 ч.

2) Какой путь проехала машина за всё время?

Общий путь — это сумма путей, пройденных на каждом из двух участков. Путь ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.
Путь на первом участке: $S_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$.
Путь на втором участке: $S_2 = x \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 3x \text{ км}$.
Общий путь $S_{общ}$ равен:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 120 + 3x \text{ км}$.

Ответ: $(120 + 3x)$ км.

3) Какова средняя скорость машины за всё время?

Средняя скорость ($v_{ср}$) вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения.
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$
Из предыдущих пунктов мы знаем:
$S_{общ} = (120 + 3x)$ км
$T_{общ} = 5$ ч
Подставляем значения в формулу:
$v_{ср} = \frac{120 + 3x}{5} \text{ км/ч}$.

Ответ: $\frac{120 + 3x}{5}$ км/ч.

100. В $x$ л раствора содержится 6 % уксуса. Сколько литров воды надо добавить, чтобы снизить содержание уксуса в растворе до 3 %?

После добавления воды этот объём уксуса составляет 3 % от нового объёма раствора.

1) Сколько литров уксуса содержится в x л раствора?

Чтобы найти количество уксуса в растворе, нужно умножить общий объём раствора на процентное содержание уксуса, выраженное в долях.

Процентное содержание уксуса: $6\% = 0.06$.

Объём уксуса = Общий объём раствора $\times$ Доля уксуса.

Объём уксуса = $x \times 0.06 = 0.06x$ (литров).

Ответ: $0.06x$ л.

2) Каков новый объём раствора?

При добавлении воды количество самого уксуса не изменяется, оно остаётся равным $0.06x$ литров. В новом растворе это количество составляет 3% от нового общего объёма. Пусть новый объём раствора равен $V_{нов}$.

Тогда можно составить уравнение:

$V_{нов} \times 0.03 = 0.06x$

Чтобы найти новый объём, разделим количество уксуса на его новую концентрацию:

$V_{нов} = \frac{0.06x}{0.03} = 2x$ (литров).

Ответ: $2x$ л.

3) Сколько литров воды надо добавить?

Чтобы найти количество добавленной воды, нужно из нового объёма раствора вычесть первоначальный объём.

Объём добавленной воды = Новый объём - Исходный объём.

Объём добавленной воды = $2x - x = x$ (литров).

Ответ: $x$ л.

297. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} y - 3x - 13 = 0, \\ 2x + 7y - 22 = 0; \end{cases}$

Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения: $y = 3x + 13$. Подставим $3x + 13$ вместо $y$ во второе уравнение и решим полученное уравнение:

$2x + 7(3x + 13) - 22 = 0;$

.......................

.......................

.......................

Найдём значение $y$ из уравнения $y = 3x + 13:

$y = 3 \cdot \dots + 13;$

$y = \dots$

Решение системы: $( \dots ; \dots ).$

б) $\begin{cases} 2x - y - 11 = 0, \\ 3x + 8y - 7 = 0; \end{cases}$в) $\begin{cases} -3x + y + 8 = 0, \\ 4x - y - 9 = 0. \end{cases}$

......................

......................

......................

......................

......................

Решение системы: $( \dots ; \dots ).$ Решение системы: $( \dots ; \dots ).$

Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения: $y = 3x + 13$.

Подставим $3x + 13$ вместо $y$ во второе уравнение и решим полученное уравнение:

$2x + 7(3x + 13) - 22 = 0;$

$2x + 21x + 91 - 22 = 0;$

$23x + 69 = 0;$

$23x = -69;$

$x = -3.$

Найдём значение $y$ из уравнения $y = 3x + 13$:

$y = 3 \cdot (-3) + 13;$

$y = -9 + 13;$

$y = 4.$

Решение системы: $(-3; 4)$.

Ответ: $(-3; 4)$.

$$ \begin{cases} 2x - y - 11 = 0 \\ 3x + 8y - 7 = 0 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 2x - 11$.

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$3x + 8(2x - 11) - 7 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$3x + 16x - 88 - 7 = 0$

$19x - 95 = 0$

$19x = 95$

$x = \frac{95}{19}$

$x = 5$

Теперь найдём соответствующее значение $y$, подставив $x = 5$ в выражение $y = 2x - 11$:

$y = 2 \cdot 5 - 11$

$y = 10 - 11$

$y = -1$

Ответ: $(5; -1)$.

$$ \begin{cases} -3x + y + 8 = 0 \\ 4x - y - 9 = 0 \end{cases} $$

Для решения данной системы удобно применить метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$). Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(-3x + y + 8) + (4x - y - 9) = 0 + 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x + 4x + y - y + 8 - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, например, в первое:

$-3(1) + y + 8 = 0$

$-3 + y + 8 = 0$

$y + 5 = 0$

$y = -5$

Ответ: $(1; -5)$.