Страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

81. Радиус окружности приближённо равен 3,45. Зная, что

$\pi = 3,1415926...$, вычислите длину окружности с точностью:

а) до трёх значащих цифр;

$C \approx$

б) до четырёх значащих цифр;

$C \approx$

в) до пяти значащих цифр.

$C \approx$

Для вычисления длины окружности $C$ используется формула $C = 2 \pi R$, где $R$ — радиус окружности. По условию задачи $R \approx 3,45$ и $\pi \approx 3,1415926...$

Сначала вычислим значение длины окружности с большей точностью, чтобы затем правильно выполнить округление:
$C = 2 \times 3,1415926... \times 3,45$
$C = 6,9 \times 3,1415926...$
$C \approx 21,67700094...$

Теперь округлим полученное значение до требуемого количества значащих цифр.

а) до трёх значащих цифр;
Для округления числа $21,67700094...$ до трёх значащих цифр, мы рассматриваем первые три цифры (2, 1, 6) и следующую за ними цифру (7). Так как $7 \ge 5$, последнюю значащую цифру (6) увеличиваем на единицу.
$C \approx 21,7$
Ответ: $C \approx 21,7$

б) до четырёх значащих цифр;
Для округления числа $21,67700094...$ до четырёх значащих цифр, мы рассматриваем первые четыре цифры (2, 1, 6, 7) и следующую за ними цифру (7). Так как $7 \ge 5$, последнюю значащую цифру (7) увеличиваем на единицу.
$C \approx 21,68$
Ответ: $C \approx 21,68$

в) до пяти значащих цифр.
Для округления числа $21,67700094...$ до пяти значащих цифр, мы рассматриваем первые пять цифр (2, 1, 6, 7, 7) и следующую за ними цифру (0). Так как $0 < 5$, последнюю значащую цифру (7) оставляем без изменений.
$C \approx 21,677$
Ответ: $C \approx 21,677$

82. На координатной оси $Ox$ (рис. 4) отметьте точки $A(2)$; $B(-3)$; $C(4)$; $D(-5)$; $F(7)$.

Рис. 4

Для того чтобы отметить заданные точки на координатной оси, сначала определим масштаб. На рисунке 4 показана координатная ось Ox, где отмечены начало отсчета — точка O(0), и единичная точка E(1). Расстояние между ними — это единичный отрезок. Видно, что длина единичного отрезка равна двум клеткам сетки.

Это означает, что для отметки точки с определенной координатой, мы должны отсчитать от начала отсчета (точки O) соответствующее количество единичных отрезков. Точки с положительными координатами откладываются вправо от O, а с отрицательными — влево.

Точка A(2)

Координата точки A равна 2. Это положительное число, поэтому точка располагается справа от начала отсчета O. Расстояние от O до A составляет 2 единичных отрезка. Поскольку один единичный отрезок равен 2 клеткам, то для нахождения точки A нужно отступить от O на $2 \times 2 = 4$ клетки вправо.

Ответ: Точка A находится на 4 клетки правее точки O.

Точка B(–3)

Координата точки B равна –3. Это отрицательное число, поэтому точка располагается слева от начала отсчета O. Расстояние от O до B составляет модуль координаты, то есть $|–3| = 3$ единичных отрезка. Для нахождения точки B нужно отступить от O на $3 \times 2 = 6$ клеток влево.

Ответ: Точка B находится на 6 клеток левее точки O.

Точка C(4)

Координата точки C равна 4. Это положительное число, точка располагается справа от O. Расстояние от O до C составляет 4 единичных отрезка. Для нахождения точки C нужно отступить от O на $4 \times 2 = 8$ клеток вправо.

Ответ: Точка C находится на 8 клеток правее точки O.

Точка D(–5)

Координата точки D равна –5. Это отрицательное число, точка располагается слева от O. Расстояние от O до D составляет $|–5| = 5$ единичных отрезков. Для нахождения точки D нужно отступить от O на $5 \times 2 = 10$ клеток влево.

Ответ: Точка D находится на 10 клеток левее точки O.

Точка F(7)

Координата точки F равна 7. Это положительное число, точка располагается справа от O. Расстояние от O до F составляет 7 единичных отрезков. Для нахождения точки F нужно отступить от O на $7 \times 2 = 14$ клеток вправо.

Ответ: Точка F находится на 14 клеток правее точки O.

Итоговое расположение точек на координатной оси показано на рисунке ниже:

83. На координатной оси Ox (рис. 5) изобразите приближённо точки с координатами $A(\frac{5}{3})$; $B(-\frac{5}{3})$; $C(\frac{11}{3})$; $D(-\frac{11}{3})$; $P(\frac{14}{3})$; $M(-\frac{14}{3})$;

$N(\frac{7}{3})$; $T(-\frac{10}{3}).$

Рис. 5

Для того чтобы изобразить заданные точки на координатной оси, сначала определим масштаб. На предоставленном рисунке единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) разделен на 3 равных деления (клетки). Это означает, что одно деление соответствует дроби $1/3$. Используя этот масштаб, мы можем точно отметить положение каждой точки.

Для удобства представим координаты точек, которые являются неправильными дробями, в виде смешанных чисел.

A($\frac{5}{3}$)

Координата точки A равна $5/3$. Чтобы найти эту точку на оси, нужно отсчитать 5 делений (каждое равно $1/3$) вправо от начала координат (точки 0). Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$. Это значит, что точка A находится между целыми числами 1 и 2.

Ответ: Точка A расположена на 5 делений вправо от нуля, в точке с координатой $1\frac{2}{3}$.

B($-\frac{5}{3}$)

Координата точки B равна $-5/3$. Знак "минус" означает, что точка находится слева от нуля. Отсчитываем 5 делений влево от начала координат. В виде смешанного числа: $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$. Точка B находится между целыми числами -1 и -2.

Ответ: Точка B расположена на 5 делений влево от нуля, в точке с координатой $-1\frac{2}{3}$.

C($\frac{11}{3}$)

Координата точки C равна $11/3$. Это соответствует 11 делениям вправо от нуля. В виде смешанного числа: $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$. Точка C находится между целыми числами 3 и 4.

Ответ: Точка C расположена на 11 делений вправо от нуля, в точке с координатой $3\frac{2}{3}$.

D($-\frac{11}{3}$)

Координата точки D равна $-11/3$. Отсчитываем 11 делений влево от нуля. В виде смешанного числа: $-\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3}$. Точка D находится между целыми числами -3 и -4.

Ответ: Точка D расположена на 11 делений влево от нуля, в точке с координатой $-3\frac{2}{3}$.

P($\frac{14}{3}$)

Координата точки P равна $14/3$. Отсчитываем 14 делений вправо от нуля. В виде смешанного числа: $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$. Точка P находится между целыми числами 4 и 5.

Ответ: Точка P расположена на 14 делений вправо от нуля, в точке с координатой $4\frac{2}{3}$.

M($-\frac{14}{3}$)

Координата точки M равна $-14/3$. Отсчитываем 14 делений влево от нуля. В виде смешанного числа: $-\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3}$. Точка M находится между целыми числами -4 и -5.

Ответ: Точка M расположена на 14 делений влево от нуля, в точке с координатой $-4\frac{2}{3}$.

N($\frac{7}{3}$)

Координата точки N равна $7/3$. Отсчитываем 7 делений вправо от нуля. В виде смешанного числа: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. Точка N находится между целыми числами 2 и 3.

Ответ: Точка N расположена на 7 делений вправо от нуля, в точке с координатой $2\frac{1}{3}$.

T($-\frac{10}{3}$)

Координата точки T равна $-10/3$. Отсчитываем 10 делений влево от нуля. В виде смешанного числа: $-\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$. Точка T находится между целыми числами -3 и -4.

Ответ: Точка T расположена на 10 делений влево от нуля, в точке с координатой $-3\frac{1}{3}$.

Итоговое расположение точек на координатной оси Ox показано на рисунке ниже.

Ответ: Изображение всех заданных точек на координатной оси представлено на рисунке выше.

287. Является ли пара чисел решением данного уравнения?

Пара чисел (1; 2) является решением уравнения $3x + y - 5 = 0$, так как $3 \cdot 1 + 2 - 5 = 0$

а) Пара чисел (-1; 2) ............ решением уравнения

$2x + 5y - 4 = 0$, так как ...........

б) Пара чисел (2; -2) ............ решением уравнения

$x - 4y - 11 = 0$, так как ...........

в) Пара чисел (1; -2) ............ решением уравнения

$-2x - y - 1 = 0$, так как ...........

г) Пара чисел (0; -3) ............ решением уравнения

$5x - 2y - 6 = 0$, так как ...........

а) Пара чисел $(-1; 2)$ не является решением уравнения $2x + 5y - 4 = 0$, так как при подстановке значений $x=-1$ и $y=2$ в левую часть уравнения получаем: $2 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 - 4 = -2 + 10 - 4 = 4$. Так как $4 \neq 0$, равенство не выполняется. Ответ: не является.

б) Пара чисел $(2; -2)$ не является решением уравнения $x - 4y - 11 = 0$, так как при подстановке значений $x=2$ и $y=-2$ в левую часть уравнения получаем: $2 - 4 \cdot (-2) - 11 = 2 + 8 - 11 = -1$. Так как $-1 \neq 0$, равенство не выполняется. Ответ: не является.

в) Пара чисел $(1; -2)$ не является решением уравнения $-2x - y - 1 = 0$, так как при подстановке значений $x=1$ и $y=-2$ в левую часть уравнения получаем: $-2 \cdot 1 - (-2) - 1 = -2 + 2 - 1 = -1$. Так как $-1 \neq 0$, равенство не выполняется. Ответ: не является.

г) Пара чисел $(0; -3)$ является решением уравнения $5x - 2y - 6 = 0$, так как при подстановке значений $x=0$ и $y=-3$ в левую часть уравнения получаем: $5 \cdot 0 - 2 \cdot (-3) - 6 = 0 + 6 - 6 = 0$. Так как $0 = 0$, равенство выполняется. Ответ: является.

288. Запишите два решения уравнения:

a) $x + y - 10 = 0;$

б) $x + 3y + 11 = 0;$

в) $5x + y - 9 = 0;$

г) $2x - y + 6 = 0.$

а) $x + y - 10 = 0$
Решением уравнения с двумя переменными является пара значений $(x; y)$, которая обращает это уравнение в верное равенство. Чтобы найти такое решение, можно выбрать произвольное значение для одной переменной, подставить его в уравнение и вычислить значение другой переменной. Найдем два таких решения.
1. Пусть $x = 5$. Подставим это значение в уравнение:
$5 + y - 10 = 0$
$y - 5 = 0$
$y = 5$
Таким образом, первое решение — это пара $(5; 5)$.
2. Пусть $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$0 + y - 10 = 0$
$y = 10$
Таким образом, второе решение — это пара $(0; 10)$.
Ответ: $(5; 5)$ и $(0; 10)$.

б) $x + 3y + 11 = 0$
Найдем два решения этим же методом.
1. Удобно выбрать значение для $y$. Пусть $y = 0$.
$x + 3 \cdot 0 + 11 = 0$
$x + 11 = 0$
$x = -11$
Первое решение: $(-11; 0)$.
2. Пусть $y = -1$.
$x + 3 \cdot (-1) + 11 = 0$
$x - 3 + 11 = 0$
$x + 8 = 0$
$x = -8$
Второе решение: $(-8; -1)$.
Ответ: $(-11; 0)$ и $(-8; -1)$.

в) $5x + y - 9 = 0$
1. Пусть $x = 1$.
$5 \cdot 1 + y - 9 = 0$
$5 + y - 9 = 0$
$y - 4 = 0$
$y = 4$
Первое решение: $(1; 4)$.
2. Пусть $x = 2$.
$5 \cdot 2 + y - 9 = 0$
$10 + y - 9 = 0$
$y + 1 = 0$
$y = -1$
Второе решение: $(2; -1)$.
Ответ: $(1; 4)$ и $(2; -1)$.

г) $2x - y + 6 = 0$
1. Пусть $x = 0$.
$2 \cdot 0 - y + 6 = 0$
$-y + 6 = 0$
$y = 6$
Первое решение: $(0; 6)$.
2. Пусть $x = -2$.
$2 \cdot (-2) - y + 6 = 0$
$-4 - y + 6 = 0$
$2 - y = 0$
$y = 2$
Второе решение: $(-2; 2)$.
Ответ: $(0; 6)$ и $(-2; 2)$.

289. Выразите y через x:

а) $5x + y - 1 = 0$

б) $-0,6x + 3y + 1,8 = 0$

в) $3x - 2y - 12 = 0$

г) $2x - 3y = 6 - x$

а)

Чтобы выразить y через x в уравнении $5x + y - 1 = 0$, необходимо изолировать y в одной части уравнения. Для этого мы перенесем все остальные члены ($5x$ и $-1$) в другую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные.

Исходное уравнение:

$5x + y - 1 = 0$

Оставляем y в левой части, а $5x$ и $-1$ переносим в правую:

$y = -5x + 1$

Ответ: $y = -5x + 1$.

б)

Дано уравнение $-0,6x + 3y + 1,8 = 0$. Чтобы выразить y через x, сначала оставим член с y ($3y$) в левой части, а остальные члены перенесем в правую часть с противоположными знаками.

$-0,6x + 3y + 1,8 = 0$

$3y = 0,6x - 1,8$

Теперь, чтобы найти y, разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на 3:

$y = \frac{0,6x - 1,8}{3}$

Разделим каждый член в правой части на 3:

$y = \frac{0,6x}{3} - \frac{1,8}{3}$

$y = 0,2x - 0,6$

Ответ: $y = 0,2x - 0,6$.

в)

В уравнении $3x - 2y - 12 = 0$ для выражения y через x, сначала изолируем член с y ($-2y$).

$3x - 2y - 12 = 0$

Перенесем $3x$ и $-12$ в правую часть с обратными знаками:

$-2y = -3x + 12$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на -2:

$y = \frac{-3x + 12}{-2}$

Разделим каждый член числителя на -2:

$y = \frac{-3x}{-2} + \frac{12}{-2}$

$y = \frac{3}{2}x - 6$

Представим дробь $\frac{3}{2}$ в виде десятичного числа:

$y = 1,5x - 6$

Ответ: $y = 1,5x - 6$.

г)

Дано уравнение $2x - 3y = 6 - x$. Сначала упростим его, собрав все члены с x в одной части. Перенесем $-x$ из правой части в левую с противоположным знаком.

$2x + x - 3y = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$3x - 3y = 6$

Заметим, что все члены уравнения ($3x, -3y, 6$) делятся на 3. Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{3x}{3} - \frac{3y}{3} = \frac{6}{3}$

$x - y = 2$

Теперь выразим y. Перенесем x в правую часть:

$-y = 2 - x$

Умножим обе части на -1, чтобы найти y:

$y = -(2 - x)$

$y = -2 + x$

Запишем в более привычном виде, поменяв слагаемые местами:

$y = x - 2$

Ответ: $y = x - 2$.