Страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

58. Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения $-a$ (противоположное число) и $|a|$ (модуль числа) для каждого значения $a$ из верхней строки. Также в некоторых столбцах нужно будет найти $a$ по известному значению $-a$.

• Противоположное число ($-a$) — это число, которое имеет тот же модуль, что и $a$, но противоположный знак. Например, для $5$ противоположным будет $-5$, а для $-2$ — $2$.
• Модуль числа ($|a|$) — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Модуль всегда является неотрицательным числом. Например, $|5| = 5$ и $|-5| = 5$.

Заполним пустые ячейки таблицы, двигаясь по столбцам слева направо.

Для столбца, где $a = -1$:
Находим $-a$: $-a = -(-1) = 1$.
Находим $|a|$: $|a| = |-1| = 1$.
Ответ: в ячейку строки $-a$ вписываем 1, а в ячейку строки $|a|$ — 1.

Для столбца, где $a = 2$:
Находим $-a$: $-a = -(2) = -2$.
Находим $|a|$: $|a| = |2| = 2$.
Ответ: в ячейку строки $-a$ вписываем -2, а в ячейку строки $|a|$ — 2.

Для столбца, где $a = -2$:
Находим $-a$: $-a = -(-2) = 2$.
Находим $|a|$: $|a| = |-2| = 2$.
Ответ: в ячейку строки $-a$ вписываем 2, а в ячейку строки $|a|$ — 2.

Для столбца, где $-a = 3$:
Находим $a$: если $-a=3$, то $a$ — это число, противоположное 3, то есть $a = -3$.
Находим $|a|$: $|a| = |-3| = 3$.
Ответ: в ячейку строки $a$ вписываем -3, а в ячейку строки $|a|$ — 3.

Для столбца, где $-a = -3$:
Находим $a$: если $-a=-3$, то $a$ — это число, противоположное -3, то есть $a = 3$.
Находим $|a|$: $|a| = |3| = 3$.
Ответ: в ячейку строки $a$ вписываем 3, а в ячейку строки $|a|$ — 3.

Для столбца, где $a = 4$:
Находим $-a$: $-a = -(4) = -4$.
Находим $|a|$: $|a| = |4| = 4$.
Ответ: в ячейку строки $-a$ вписываем -4, а в ячейку строки $|a|$ — 4.

Для столбца, где $a = -5$:
Находим $-a$: $-a = -(-5) = 5$.
Находим $|a|$: $|a| = |-5| = 5$.
Ответ: в ячейку строки $-a$ вписываем 5, а в ячейку строки $|a|$ — 5.

Итоговая заполненная таблица:

59. Докажите, что для любого действительного числа a верно неравенство $|a| \ge a$.

Для доказательства неравенства $|a| \ge a$ необходимо рассмотреть все возможные случаи для действительного числа $a$, основываясь на определении модуля (абсолютной величины).

Определение модуля числа $a$ выглядит следующим образом:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Число $a$ неотрицательно, то есть $a \ge 0$.

В этом случае, согласно определению модуля, $|a| = a$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$a \ge a$

Это неравенство верно, так как выполняется условие равенства. Следовательно, для всех $a \ge 0$ утверждение доказано.

Случай 2: Число $a$ отрицательно, то есть $a < 0$.

В этом случае, согласно определению модуля, $|a| = -a$. Подставим это значение в исходное неравенство:

$-a \ge a$

Поскольку по условию этого случая $a$ — отрицательное число, то $-a$ будет положительным числом. Например, если $a = -5$, то $-a = 5$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому неравенство $-a > a$ для $a < 0$ всегда верно. Из этого следует, что и нестрогое неравенство $-a \ge a$ также является верным.

Мы рассмотрели все возможные действительные числа (неотрицательные и отрицательные) и в каждом из случаев показали, что неравенство $|a| \ge a$ справедливо.

Ответ: Утверждение доказано, так как неравенство $|a| \ge a$ выполняется для всех действительных чисел $a$.

60. Сравните действительные числа:

$0,(41) > 0,41$; $-0,(53) < -0,53$; $0,(21) > -0,(21)$

а) $1,(5) \square 1,5$;

б) $1,(5) \square -1,(5)$;

в) $-1,(5) \square -1,5$;

г) $5,(5) \square 5\frac{5}{9}$;

д) $-2,(7) \square -2\frac{7}{9}$;

е) $-\frac{98}{99} \square -\frac{99}{98}$.

а) Чтобы сравнить числа $1,(5)$ и $1,5$, представим их в развернутом виде. Число $1,(5)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $1,555...$. Число $1,5$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $1,500...$. Сравниваем эти числа поразрядно, слева направо. Целые части равны: $1 = 1$. Разряд десятых также равен: $5 = 5$. В разряде сотых у числа $1,555...$ стоит цифра $5$, а у числа $1,500...$ стоит цифра $0$. Поскольку $5 > 0$, то и число $1,555...$ больше, чем $1,500...$. Следовательно, $1,(5) > 1,5$.
Ответ: $1,(5) > 1,5$.

б) Сравним числа $1,(5)$ и $-1,(5)$. Число $1,(5)$ является положительным. Число $-1,(5)$ является отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $1,(5) > -1,(5)$.
Ответ: $1,(5) > -1,(5)$.

в) Сравним числа $-1,(5)$ и $-1,5$. Сначала сравним модули этих чисел: $|-1,(5)| = 1,(5)$ и $|-1,5| = 1,5$. Из пункта а) известно, что $1,(5) > 1,5$. При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Поскольку $|-1,(5)| > |-1,5|$, то $-1,(5) < -1,5$. Иначе говоря, $-1,555...$ находится на числовой оси левее, чем $-1,5$, а значит, оно меньше.
Ответ: $-1,(5) < -1,5$.

г) Сравним числа $5,(5)$ и $5\frac{5}{9}$. Для сравнения преобразуем периодическую дробь $5,(5)$ в обыкновенную. Пусть $x = 5,(5) = 5,555...$. Умножим на $10$: $10x = 55,555...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 55,555... - 5,555...$ $9x = 50$ $x = \frac{50}{9}$ Теперь преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{50}{9} = 5\frac{5}{9}$. Таким образом, мы получили, что $5,(5) = 5\frac{5}{9}$.
Ответ: $5,(5) = 5\frac{5}{9}$.

д) Сравним числа $-2,(7)$ и $-2\frac{7}{9}$. Сначала сравним модули этих чисел: $|-2,(7)| = 2,(7)$ и $|-2\frac{7}{9}| = 2\frac{7}{9}$. Преобразуем периодическую дробь $2,(7)$ в обыкновенную. Пусть $x = 2,(7) = 2,777...$. $10x = 27,777...$. $10x - x = 27,777... - 2,777...$ $9x = 25$ $x = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$. Поскольку модули чисел равны, $2,(7) = 2\frac{7}{9}$, то и сами отрицательные числа равны.
Ответ: $-2,(7) = -2\frac{7}{9}$.

е) Сравним числа $-\frac{98}{99}$ и $-\frac{99}{98}$. Сначала сравним модули этих чисел, то есть положительные дроби $\frac{98}{99}$ и $\frac{99}{98}$. Дробь $\frac{98}{99}$ является правильной, так как числитель меньше знаменателя ($98 < 99$). Значение правильной дроби всегда меньше $1$. Дробь $\frac{99}{98}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя ($99 > 98$). Значение неправильной дроби (не равной $1$) всегда больше $1$. Следовательно, $\frac{98}{99} < 1 < \frac{99}{98}$, откуда $\frac{98}{99} < \frac{99}{98}$. При сравнении отрицательных чисел большим является то, у которого модуль меньше. Так как $|\ -\frac{98}{99}\ | < |\ -\frac{99}{98}\ |$, то $-\frac{98}{99} > -\frac{99}{98}$.
Ответ: $-\frac{98}{99} > -\frac{99}{98}$.

269. Проверьте, является ли число 2 корнем уравнения:

а) $3x - 6 = 0$;

б) $5x + 10 = 0$;

в) $-2x + 4 = 0$.

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной в уравнение. Если получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения; если неверное, то не является.

а) Проверим число 2 для уравнения $3x - 6 = 0$.

Подставим $x = 2$ в уравнение:

$3 \cdot 2 - 6 = 0$

$6 - 6 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: да, является.

б) Проверим число 2 для уравнения $5x + 10 = 0$.

Подставим $x = 2$ в уравнение:

$5 \cdot 2 + 10 = 0$

$10 + 10 = 0$

$20 = 0$

Равенство неверное, значит, число 2 не является корнем уравнения.

Ответ: нет, не является.

в) Проверим число 2 для уравнения $-2x + 4 = 0$.

Подставим $x = 2$ в уравнение:

$-2 \cdot 2 + 4 = 0$

$-4 + 4 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: да, является.

...............

...............

...............

270. Какое из чисел -2, -1, 0, 1, 2 является корнем уравнения

$4x - 4 = 0?$

Чтобы определить, какое из предложенных чисел является корнем уравнения, нужно найти такое значение переменной $x$, при подстановке которого в уравнение $4x - 4 = 0$ получится верное числовое равенство. Это можно сделать двумя способами: решить уравнение или проверить каждое из предложенных чисел подстановкой.

Рассмотрим решение уравнения:

$4x - 4 = 0$

Для нахождения $x$ сначала перенесем число $-4$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$4x = 4$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $4$:

$x = \frac{4}{4}$

$x = 1$

Корень уравнения равен $1$. Это число есть в списке предложенных: $-2, -1, 0, 1, 2$.

Также можно выполнить проверку подстановкой каждого из чисел:

• Для $x = -2$: $4 \cdot (-2) - 4 = -8 - 4 = -12 \neq 0$
• Для $x = -1$: $4 \cdot (-1) - 4 = -4 - 4 = -8 \neq 0$
• Для $x = 0$: $4 \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4 \neq 0$
• Для $x = 1$: $4 \cdot 1 - 4 = 4 - 4 = 0$. Равенство верное.
• Для $x = 2$: $4 \cdot 2 - 4 = 8 - 4 = 4 \neq 0$

Проверка подтверждает, что только число $1$ является корнем данного уравнения.

Ответ: $1$.

271. Число $k \neq 0$. Решите уравнение:

а) $kx - 8 = 0;$

б) $kx + 12 = 0;$

в) $kx + b = 0.$

а) Дано линейное уравнение $kx - 8 = 0$.
Чтобы найти $x$, сначала перенесем слагаемое $-8$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$kx = 8$
Поскольку по условию задачи $k \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $k$:
$x = \frac{8}{k}$
Ответ: $x = \frac{8}{k}$

б) Дано линейное уравнение $kx + 12 = 0$.
Перенесем слагаемое $12$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$kx = -12$
Так как $k \neq 0$, разделим обе части на $k$:
$x = -\frac{12}{k}$
Ответ: $x = -\frac{12}{k}$

в) Дано линейное уравнение $kx + b = 0$ с параметрами $k$ и $b$.
Чтобы выразить $x$, перенесем слагаемое $b$ в правую часть уравнения, поменяв его знак:
$kx = -b$
По условию $k \neq 0$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $k$:
$x = -\frac{b}{k}$
Ответ: $x = -\frac{b}{k}$

272. Верно ли, что любое уравнение первой степени с неизвестным $x$ является линейным уравнением с одним неизвестным $x$?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть определения уравнения первой степени и линейного уравнения.

Уравнением первой степени с одним неизвестным $x$ называется уравнение, которое можно привести к виду $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, и при этом обязательно выполняется условие $a \neq 0$. Наличие ненулевого коэффициента при $x$ и является признаком первой степени.

Линейным уравнением с одним неизвестным $x$ называется уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа. В общем определении линейного уравнения не накладывается требование, чтобы коэффициент $a$ был отличен от нуля. То есть, случаи $a \neq 0$ и $a = 0$ оба описывают линейные уравнения.

Теперь сравним эти два понятия. Любое уравнение первой степени можно записать в виде $ax + b = 0$ при $a \neq 0$. Эта форма полностью подпадает под определение линейного уравнения. Таким образом, множество всех уравнений первой степени является подмножеством множества всех линейных уравнений.

Следовательно, любое уравнение первой степени с неизвестным $x$ является линейным уравнением с одним неизвестным $x$.

Стоит отметить, что обратное утверждение неверно. Не всякое линейное уравнение является уравнением первой степени. Например, уравнение $0 \cdot x + 7 = 0$ — линейное, но не является уравнением первой степени, так как коэффициент при $x$ равен нулю.

Ответ: Да, верно.

273. Является ли данное уравнение линейным уравнением с одним неизвестным x:

a) $2x - 1 = x - 18$;

б) $2x - 1 = 2x + 1$;

в) $2x - 1 = 2x - 1$?

Линейным уравнением с одним неизвестным $x$ называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Чтобы определить, является ли данное уравнение линейным, нужно привести его к этому стандартному виду и проверить, выполняется ли условие $a \neq 0$.

а) Расмотрим уравнение $2x - 1 = x - 18$.
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$2x - x = -18 + 1$
Упростим обе части уравнения:
$x = -17$
Данное уравнение приведено к виду $ax = b$, где $a = 1$ и $b = -17$. Так как $a = 1 \neq 0$, то это уравнение является линейным уравнением с одним неизвестным.
Ответ: да, является.

б) Расмотрим уравнение $2x - 1 = 2x + 1$.
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$2x - 2x = 1 + 1$
Упростим обе части уравнения:
$0 \cdot x = 2$
Данное уравнение приведено к виду $ax = b$, где $a = 0$ и $b = 2$. Так как коэффициент при $x$ равен нулю ($a = 0$), это уравнение не является линейным уравнением с одним неизвестным. Более того, оно не имеет решений, так как нет такого числа $x$, которое при умножении на 0 дало бы 2.
Ответ: нет, не является.

в) Расмотрим уравнение $2x - 1 = 2x - 1$.
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$2x - 2x = -1 + 1$
Упростим обе части уравнения:
$0 \cdot x = 0$
Данное уравнение приведено к виду $ax = b$, где $a = 0$ и $b = 0$. Так как коэффициент при $x$ равен нулю ($a = 0$), это уравнение не является линейным уравнением с одним неизвестным. Это тождество, которое верно при любом значении $x$.
Ответ: нет, не является.