Страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

127. Определите степень одночлена:

а) $6ba^3$

б) $1.2a^8bc$

в) $-1.7a^5b^2c^2$

г) $9$

д) $0$

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен является числом (константой), не равным нулю, то его степень считается равной нулю. Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.

а) В одночлене $6ba^3$ переменными являются $b$ и $a$. Степень переменной $b$ равна 1 (так как $b = b^1$), а степень переменной $a$ равна 3. Степень одночлена — это сумма степеней всех его переменных.
Сумма степеней: $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4

б) В одночлене $1,2a^8bc$ переменными являются $a$, $b$ и $c$. Степень переменной $a$ равна 8, степень переменной $b$ равна 1 ($b = b^1$), и степень переменной $c$ равна 1 ($c = c^1$).
Сумма степеней: $8 + 1 + 1 = 10$.
Ответ: 10

в) В одночлене $-1,7a^5b^2c^2$ переменными являются $a$, $b$ и $c$. Степень переменной $a$ равна 5, степень переменной $b$ равна 2, и степень переменной $c$ равна 2.
Сумма степеней: $5 + 2 + 2 = 9$.
Ответ: 9

г) Одночлен 9 является числом, отличным от нуля. В нем нет переменных, или можно считать, что любая переменная входит в него в нулевой степени (например, $9 = 9x^0$). По определению, степень такого одночлена равна 0.
Ответ: 0

д) Одночлен 0 — это нулевой одночлен. Его можно представить как произведение нуля на любую переменную в любой степени, например $0 \cdot x^2 = 0$ или $0 \cdot y^5 = 0$. Так как степень невозможно определить однозначно, считается, что степень нулевого одночлена не определена.
Ответ: степень не определена

128. Соедините линией все одночлены, подобные одночлену $ab$:

$3ab$

$-a^2b$

$a^2b^2$

$-3ab$

$11a^2b$

$-ba$

$-3a$

$1.8ba$

$ab$

$12a^2b$

$ba$

$9ab^2$

$3a^2b$

$-2ab^3$

$0ab$

$ab7$

$-2ab^2$

$2b$

Подобными одночленами называются одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть и могут отличаться только числовыми коэффициентами. Искомые одночлены должны быть подобны одночлену $ab$. Это означает, что после приведения к стандартному виду их буквенная часть должна быть $a^1b^1$ или просто $ab$.

Проанализируем каждый одночлен из списка, приведя его к стандартному виду (числовой коэффициент на первом месте, затем переменные в алфавитном порядке):

• $3ab$ → Стандартный вид: $3ab$. Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $-aba$ → Стандартный вид: $-a \cdot a \cdot b = -a^2b$. Буквенная часть $a^2b$. Не подобен.
• $baba$ → Стандартный вид: $b \cdot a \cdot b \cdot a = a^2b^2$. Буквенная часть $a^2b^2$. Не подобен.
• $-3ab$ → Стандартный вид: $-3ab$. Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $11aab$ → Стандартный вид: $11a^2b$. Буквенная часть $a^2b$. Не подобен.
• $-ba$ → Стандартный вид: $-ab$ (так как $ba = ab$). Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $-3a$ → Стандартный вид: $-3a$. Буквенная часть $a$. Не подобен.
• $1,8ba$ → Стандартный вид: $1,8ab$. Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $ab$ → Стандартный вид: $ab$. Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $12aab$ → Стандартный вид: $12a^2b$. Буквенная часть $a^2b$. Не подобен.
• $ba$ → Стандартный вид: $ab$. Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $bba9$ → Стандартный вид: $9ab^2$. Буквенная часть $ab^2$. Не подобен.
• $3a2b$ → Стандартный вид: $3 \cdot 2 \cdot a \cdot b = 6ab$. Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $-2abbb$ → Стандартный вид: $-2ab^3$. Буквенная часть $ab^3$. Не подобен.
• $0ab$ → Стандартный вид: $0ab$. Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $ab7$ → Стандартный вид: $7ab$. Буквенная часть $ab$. Подобен.
• $-bb2a$ → Стандартный вид: $-2ab^2$. Буквенная часть $ab^2$. Не подобен.
• $2b$ → Стандартный вид: $2b$. Буквенная часть $b$. Не подобен.

Таким образом, все одночлены, которые подобны одночлену $ab$, идентифицированы. Задание "соединить линией" подразумевает выбор именно этих одночленов.

Ответ: Одночлены, подобные одночлену $ab$: $3ab$, $-3ab$, $-ba$, $1,8ba$, $ab$, $ba$, $3a2b$, $0ab$, $ab7$.

129. Придумайте и запишите три одночлена стандартного вида, подобные данному одночлену:

а) $a^2b$, . . . . . . . . . . . . .

б) $-ab^2$, . . . . . . . . . . . . .

в) $5c^2b^3$, . . . . . . . . . . . . .

г) $-2aabb$, . . . . . . . . . . . . .

д) $3b^5b$, . . . . . . . . . . . . .

е) $-3a^2a^3$, . . . . . . . . . . . . .

Подобные одночлены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть. Чтобы придумать подобные одночлены, нужно взять буквенную часть исходного одночлена и умножить её на любой числовой коэффициент, отличный от нуля. Если исходный одночлен не в стандартном виде, его нужно сначала привести к стандартному виду.

а) Данный одночлен $a^2b$ уже представлен в стандартном виде. Его буквенная часть — $a^2b$. Придумаем три подобных одночлена, изменив только числовой коэффициент.
Ответ: $5a^2b$, $-10a^2b$, $0.3a^2b$.

б) Данный одночлен $-ab^2$ представлен в стандартном виде. Его буквенная часть — $ab^2$. Придумаем три подобных одночлена.
Ответ: $2ab^2$, $-8ab^2$, $\frac{1}{2}ab^2$.

в) Данный одночлен $5c^2b^3$ представлен в стандартном виде. Его буквенная часть — $c^2b^3$ (или $b^3c^2$). Придумаем три подобных одночлена.
Ответ: $-c^2b^3$, $20c^2b^3$, $-1.5c^2b^3$.

г) Сначала приведем данный одночлен $-2aabb$ к стандартному виду. Для этого перемножим одинаковые переменные: $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$. Получим одночлен стандартного вида: $-2a^2b^2$. Буквенная часть этого одночлена равна $a^2b^2$. Придумаем три подобных ему одночлена.
Ответ: $a^2b^2$, $7a^2b^2$, $-13a^2b^2$.

д) Приведем одночлен $3b^5b$ к стандартному виду. Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получим: $b^5 \cdot b = b^{5+1} = b^6$. Таким образом, стандартный вид одночлена: $3b^6$. Его буквенная часть равна $b^6$. Придумаем три подобных одночлена.
Ответ: $-b^6$, $9b^6$, $0.25b^6$.

е) Приведем одночлен $-3a^2a^3$ к стандартному виду. Перемножим степени с одинаковым основанием: $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$. Стандартный вид одночлена: $-3a^5$. Его буквенная часть равна $a^5$. Придумаем три подобных одночлена.
Ответ: $a^5$, $11a^5$, $-4a^5$.

308*. Дана система уравнений

$\begin{cases} 3x - ay + 5 = 0, \\ 1,5x + y + 2,5 = 0. \end{cases}$

а) Укажите значение a, при котором данная система имеет бесконечно много решений.

....................

б) Укажите три значения a, при каждом из которых данная система имеет единственное решение.

....................

в) Существует ли значение a, при котором данная система не имеет решений? Почему?

Для анализа системы уравнений вида: $$ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $$ необходимо рассмотреть соотношения ее коэффициентов. В данной системе: $$ \begin{cases} 3x - ay + 5 = 0 \\ 1,5x + y + 2,5 = 0 \end{cases} $$ коэффициенты равны: $A_1 = 3$, $B_1 = -a$, $C_1 = 5$ и $A_2 = 1,5$, $B_2 = 1$, $C_2 = 2,5$.

Вычислим отношения коэффициентов: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{1,5} = 2 $$ $$ \frac{B_1}{B_2} = \frac{-a}{1} = -a $$ $$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{2,5} = 2 $$

Система имеет бесконечно много решений, если ее уравнения эквивалентны, то есть все коэффициенты пропорциональны: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$ Подставляя вычисленные значения, получаем: $$ 2 = -a = 2 $$ Из этого равенства следует, что $-a = 2$, откуда $a = -2$. При этом значении $a$ второе уравнение системы, умноженное на 2, полностью совпадает с первым, что означает, что система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: $a = -2$.

Система имеет единственное решение, если прямые, описываемые уравнениями, пересекаются в одной точке. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных $x$ и $y$ не пропорциональны: $$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $$ Подставляя наши значения, получаем неравенство: $$ 2 \neq -a $$ Это означает, что $a \neq -2$. Следовательно, система имеет единственное решение при любом значении $a$, кроме $a=-2$. Можно выбрать любые три таких значения.

Ответ: например, $a = 0$, $a = 1$, $a = 10$.

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $$ Рассмотрим это условие для нашей системы.

Первая часть равенства $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$ дает нам $2 = -a$, то есть $a = -2$.

Вторая часть, неравенство $\frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, при $a = -2$ превращается в $2 \neq 2$. Это утверждение ложно.

Таким образом, невозможно найти такое значение $a$, при котором бы выполнялось условие отсутствия решений. Отношение коэффициентов при $x$ ($\frac{A_1}{A_2}=2$) всегда равно отношению свободных членов ($\frac{C_1}{C_2}=2$). Поэтому, как только отношение коэффициентов при $y$ становится равным им (при $a=-2$), система сразу получает бесконечное число решений, минуя случай отсутствия решений.

Ответ: нет, такого значения $a$ не существует. Потому что отношение коэффициентов при $x$ всегда равно отношению свободных членов ($\frac{3}{1,5} = \frac{5}{2,5} = 2$), что делает невозможным выполнение условия для отсутствия решений.