Страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

130. Найдите сумму (разность) подобных одночленов:

а) $3a + 5a = ......$

б) $-3ab^2 + 3ab^2 = ......$

в) $b^3 + 1,4b^3 = ......$

г) $-2ab + ab = ......$

д) $3a - 4a = ......$

е) $-3ab^2 - 3ab^2 = ......$

ж) $3b^3 - 4b^3 = ......$

з) $2ab - 2ab = ......$

а) Чтобы найти сумму подобных одночленов, необходимо сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений. Одночлены $3a$ и $5a$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a$.
$3a + 5a = (3 + 5)a = 8a$.
Ответ: $8a$.

б) Одночлены $-3ab^2$ и $3ab^2$ являются подобными. Их буквенная часть $ab^2$. Коэффициенты этих одночленов являются противоположными числами ($-3$ и $3$), поэтому их сумма равна нулю.
$-3ab^2 + 3ab^2 = (-3 + 3)ab^2 = 0 \cdot ab^2 = 0$.
Ответ: $0$.

в) Одночлены $b^3$ и $1,4b^3$ являются подобными, их общая буквенная часть $b^3$. Коэффициент одночлена $b^3$ равен $1$. Сложим коэффициенты $1$ и $1,4$.
$b^3 + 1,4b^3 = 1 \cdot b^3 + 1,4b^3 = (1 + 1,4)b^3 = 2,4b^3$.
Ответ: $2,4b^3$.

г) Одночлены $-2ab$ и $ab$ являются подобными с общей буквенной частью $ab$. Коэффициент одночлена $ab$ равен $1$. Чтобы найти сумму, сложим их коэффициенты $-2$ и $1$.
$-2ab + ab = -2ab + 1ab = (-2 + 1)ab = -1 \cdot ab = -ab$.
Ответ: $-ab$.

д) Одночлены $3a$ и $4a$ являются подобными с общей буквенной частью $a$. Чтобы найти их разность, нужно из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго.
$3a - 4a = (3 - 4)a = -1a = -a$.
Ответ: $-a$.

е) Одночлены $-3ab^2$ и $3ab^2$ в выражении $-3ab^2 - 3ab^2$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $ab^2$. Найдем сумму их коэффициентов.
$-3ab^2 - 3ab^2 = (-3 - 3)ab^2 = -6ab^2$.
Ответ: $-6ab^2$.

ж) Одночлены $3b^3$ и $4b^3$ являются подобными с общей буквенной частью $b^3$. Найдем их разность, вычитая коэффициенты.
$3b^3 - 4b^3 = (3 - 4)b^3 = -1b^3 = -b^3$.
Ответ: $-b^3$.

з) Одночлены $2ab$ и $2ab$ являются подобными. При вычитании одинаковых одночленов результат всегда равен нулю.
$2ab - 2ab = (2 - 2)ab = 0 \cdot ab = 0$.
Ответ: $0$.

131. Приведите подобные одночлены:

а) $a + 2a + 3a = \dots$

б) $a + 2a - 3a = \dots$

в) $3ac - 7ac = \dots$

г) $-4b^5 + 10b^5 = \dots$

а) Чтобы привести подобные одночлены в выражении $a + 2a + 3a$, необходимо сложить их коэффициенты. Все три одночлена имеют одинаковую буквенную часть $a$, поэтому они являются подобными. Коэффициенты этих одночленов – 1 (у $a$), 2 и 3.

Складываем коэффициенты и умножаем на общую буквенную часть:

$a + 2a + 3a = (1 + 2 + 3)a = 6a$

Ответ: $6a$

б) В выражении $a + 2a - 3a$ все одночлены также являются подобными с общей буквенной частью $a$. Выполним действия с их коэффициентами: 1, 2 и -3.

Складываем и вычитаем коэффициенты, а результат умножаем на общую буквенную часть:

$a + 2a - 3a = (1 + 2 - 3)a = 0 \cdot a = 0$

Ответ: $0$

в) Одночлены $3ac$ и $-7ac$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $ac$. Чтобы их привести, нужно сложить их коэффициенты (3 и -7).

Выполняем действие с коэффициентами и умножаем на общую буквенную часть:

$3ac - 7ac = (3 - 7)ac = -4ac$

Ответ: $-4ac$

г) В выражении $-4b^5 + 10b^5$ одночлены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $b^5$. Для их приведения сложим коэффициенты -4 и 10.

Складываем коэффициенты и умножаем результат на общую буквенную часть:

$-4b^5 + 10b^5 = (-4 + 10)b^5 = 6b^5$

Ответ: $6b^5$

132. Зачеркните два выражения, не являющиеся многочленами:

$5a - 7b$; $7ab$; $13$; $-\frac{1}{4}a^3$; $\frac{a}{b+1}$; $\frac{3}{2x}$.

Для решения этой задачи необходимо определить, какие из предложенных выражений соответствуют определению многочлена, а какие — нет.

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой сумму одночленов. Одночлен — это произведение числа (коэффициента), переменных и их степеней с целыми неотрицательными показателями. Ключевой особенностью многочлена является отсутствие операции деления на переменную.

Проанализируем каждое выражение из списка:

• $5a - 7b$: Это выражение является суммой двух одночленов, $5a$ и $-7b$. Переменные $a$ и $b$ имеют степень 1. Это многочлен.
• $7ab$: Это произведение числа 7 и переменных $a$ и $b$ в первой степени. Это одночлен, а любой одночлен является частным случаем многочлена.
• $13$: Это число, которое можно рассматривать как одночлен (например, $13x^0$). Следовательно, это многочлен.
• $\frac{1}{4}a^3$: Это произведение числового коэффициента $\frac{1}{4}$ и переменной $a$ в степени 3. Деление происходит на число, а не на переменную, поэтому это одночлен и, соответственно, многочлен.
• $\frac{a}{b+1}$: В этом выражении присутствует деление на выражение $b+1$, содержащее переменную $b$. Деление на переменную недопустимо в многочленах. Следовательно, это выражение не является многочленом.
• $\frac{3}{2x}$: В этом выражении есть деление на переменную $x$. Его можно представить в виде $\frac{3}{2}x^{-1}$. Так как степень переменной $x$ является отрицательным числом ($-1$), это выражение не является многочленом.

Таким образом, мы нашли два выражения, которые не удовлетворяют определению многочлена, так как содержат деление на переменную.

Ответ: Выражения, которые не являются многочленами и которые следует зачеркнуть: $\frac{a}{b+1}$ и $\frac{3}{2x}$.

133. Составьте многочлен из данных его членов:

а) $2a$, $3b$: ..........

б) $a^2$, $2ab$, $b^2$: ..........

в) $a$, $-5b$: ..........

г) $a^2$, $-2ab$, $b^2$: ..........

а) Чтобы составить многочлен из данных членов, необходимо найти их алгебраическую сумму. В данном случае члены многочлена — это $2a$ и $3b$. Так как оба члена имеют положительные знаки, мы их складываем: $2a + 3b$. Эти члены не являются подобными, так как у них разная буквенная часть, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $2a + 3b$

б) Даны три члена: $a^2$, $2ab$ и $b^2$. Складываем их, чтобы получить многочлен. Все члены имеют положительные знаки, поэтому многочлен будет выглядеть как сумма этих членов: $a^2 + 2ab + b^2$. Подобных членов в этом выражении нет. Этот многочлен является формулой сокращенного умножения, известной как квадрат суммы: $(a+b)^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$

в) Даны члены $a$ и $-5b$. Их алгебраическая сумма записывается как $a + (-5b)$. Сложение отрицательного члена равносильно вычитанию, поэтому выражение можно упростить до $a - 5b$. Члены $a$ и $-5b$ не являются подобными, следовательно, это окончательный вид многочлена.

Ответ: $a - 5b$

г) Даны члены $a^2$, $-2ab$ и $b^2$. Составляем их алгебраическую сумму: $a^2 + (-2ab) + b^2$. Это выражение можно переписать, убрав скобки: $a^2 - 2ab + b^2$. Подобных членов в многочлене нет. Данный многочлен представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат разности: $(a-b)^2$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$

134. Запишите многочлен без скобок:

а) $5a + (-b) = ......$

б) $a^3 + (-2a) + (-b^2) = $

в) $a^2 + (-b^2) = ......$

г) $a + (-3b) + 1 = ....$

а) Чтобы записать многочлен $5a + (-b)$ без скобок, нужно раскрыть скобки. Правило раскрытия скобок гласит: если перед скобкой стоит знак «+», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. В данном случае слагаемое в скобках – это $-b$.

Применяем правило: $5a + (-b) = 5a - b$.

Ответ: $5a - b$

б) В выражении $a^3 + (-2a) + (-b^2)$ нужно раскрыть две скобки. Перед каждой из них стоит знак «+». Поэтому мы убираем скобки, сохраняя знаки слагаемых внутри них.

Раскрываем скобки последовательно:

$a^3 + (-2a) + (-b^2) = a^3 - 2a - b^2$.

Ответ: $a^3 - 2a - b^2$

в) В выражении $a^2 + (-b^2)$ перед скобкой стоит знак «+». Согласно правилу, мы опускаем скобки, при этом знак слагаемого $-b^2$ сохраняется.

$a^2 + (-b^2) = a^2 - b^2$.

Ответ: $a^2 - b^2$

г) В выражении $a + (-3b) + 1$ также необходимо раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Знак слагаемого $-3b$ внутри скобок не изменяется.

$a + (-3b) + 1 = a - 3b + 1$.

Ответ: $a - 3b + 1$

309. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} 2x = 8, \\ x + y = 7, \\ x - 2y + 3z = 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3y = -9, \\ 5x - y = 13, \\ x + y + z = -5. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x = 8, \\ x + y = 7, \\ x - 2y + 3z = 4; \end{cases} $

1. Из первого уравнения находим значение переменной $x$.
$2x = 8$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$

2. Подставляем найденное значение $x = 4$ во второе уравнение системы, чтобы найти $y$.
$x + y = 7$
$4 + y = 7$
$y = 7 - 4$
$y = 3$

3. Подставляем найденные значения $x = 4$ и $y = 3$ в третье уравнение системы, чтобы найти $z$.
$x - 2y + 3z = 4$
$4 - 2 \cdot 3 + 3z = 4$
$4 - 6 + 3z = 4$
$-2 + 3z = 4$
$3z = 4 + 2$
$3z = 6$
$z = \frac{6}{3}$
$z = 2$

Ответ: $(4; 3; 2)$.

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3y = -9, \\ 5x - y = 13, \\ x + y + z = -5. \end{cases} $

1. Из первого уравнения находим значение переменной $y$.
$3y = -9$
$y = \frac{-9}{3}$
$y = -3$

2. Подставляем найденное значение $y = -3$ во второе уравнение системы, чтобы найти $x$.
$5x - y = 13$
$5x - (-3) = 13$
$5x + 3 = 13$
$5x = 13 - 3$
$5x = 10$
$x = \frac{10}{5}$
$x = 2$

3. Подставляем найденные значения $x = 2$ и $y = -3$ в третье уравнение системы, чтобы найти $z$.
$x + y + z = -5$
$2 + (-3) + z = -5$
$2 - 3 + z = -5$
$-1 + z = -5$
$z = -5 + 1$
$z = -4$

Ответ: $(2; -3; -4)$.

310. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases}2x - 12 = 0, \\x - 2y + 3z = 7, \\-x + 2y + 5z = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2y - 8 = 0, \\-x + y - 2z = 5, \\5x - 2y + 3z = -6.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 12 = 0, \\ x - 2y + 3z = 7, \\ -x + 2y + 5z = 1; \end{cases} $

1. Начнем с решения первого уравнения, так как оно содержит только одну переменную $x$:
$2x - 12 = 0$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2} = 6$

2. Теперь, когда мы знаем значение $x$, подставим его во второе и третье уравнения системы:
$ \begin{cases} 6 - 2y + 3z = 7, \\ -6 + 2y + 5z = 1; \end{cases} $
Это дает нам новую систему с двумя переменными, $y$ и $z$. Упростим ее:
$ \begin{cases} -2y + 3z = 7 - 6, \\ 2y + 5z = 1 + 6; \end{cases} $
$ \begin{cases} -2y + 3z = 1, \\ 2y + 5z = 7. \end{cases} $

3. Для решения этой системы используем метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений. Это позволит нам исключить переменную $y$:
$(-2y + 3z) + (2y + 5z) = 1 + 7$
$-2y + 2y + 3z + 5z = 8$
$8z = 8$
$z = \frac{8}{8} = 1$

4. Теперь подставим найденное значение $z=1$ в любое из уравнений системы с двумя переменными, например, в $2y + 5z = 7$:
$2y + 5(1) = 7$
$2y + 5 = 7$
$2y = 7 - 5$
$2y = 2$
$y = 1$

Таким образом, решение системы: $x=6, y=1, z=1$.
Проведем проверку, подставив значения в исходные уравнения:
1) $2(6) - 12 = 12 - 12 = 0$ (верно)
2) $6 - 2(1) + 3(1) = 6 - 2 + 3 = 7$ (верно)
3) $-(6) + 2(1) + 5(1) = -6 + 2 + 5 = 1$ (верно)

Ответ: $x=6, y=1, z=1$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2y - 8 = 0, \\ -x + y - 2z = 5, \\ 5x - 2y + 3z = -6. \end{cases} $

1. Начнем с решения первого уравнения, так как оно содержит только одну переменную $y$:
$2y - 8 = 0$
$2y = 8$
$y = \frac{8}{2} = 4$

2. Подставим найденное значение $y=4$ во второе и третье уравнения системы:
$ \begin{cases} -x + 4 - 2z = 5, \\ 5x - 2(4) + 3z = -6; \end{cases} $
Упростим полученную систему с двумя переменными, $x$ и $z$ :
$ \begin{cases} -x - 2z = 5 - 4, \\ 5x - 8 + 3z = -6; \end{cases} $
$ \begin{cases} -x - 2z = 1, \\ 5x + 3z = -6 + 8; \end{cases} $
$ \begin{cases} -x - 2z = 1, \\ 5x + 3z = 2. \end{cases} $

3. Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 5, чтобы воспользоваться методом сложения:
$5 \cdot (-x - 2z) = 5 \cdot 1 \implies -5x - 10z = 5$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы ($5x + 3z = 2$):
$(-5x - 10z) + (5x + 3z) = 5 + 2$
$-5x + 5x - 10z + 3z = 7$
$-7z = 7$
$z = \frac{7}{-7} = -1$

4. Подставим найденное значение $z=-1$ в уравнение $-x - 2z = 1$, чтобы найти $x$:
$-x - 2(-1) = 1$
$-x + 2 = 1$
$-x = 1 - 2$
$-x = -1$
$x = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=4, z=-1$.
Проведем проверку, подставив значения в исходные уравнения:
1) $2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$ (верно)
2) $-(1) + 4 - 2(-1) = -1 + 4 + 2 = 5$ (верно)
3) $5(1) - 2(4) + 3(-1) = 5 - 8 - 3 = -6$ (верно)

Ответ: $x=1, y=4, z=-1$.