Страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

141. Упростите выражение:

а) $5 + (3a - 5b + 7c) - (7c - 5b + 3a) = \dots$

б) $7 - (3x - 4y + 1) - (4y - 3x + 1) = \dots$

в) $4x - (2x - 7y + 6) + (11 - 2x - 7y) = \dots$

г) $3y + (x + y - 7) - (4y - 12 + x) = \dots$

д) $(a - b) - (c - b) - (a - c) = \dots$

е) $-(a - b) - (b - c) - (c - a) = \dots$

а) $5 + (3a - 5b + 7c) - (7c - 5b + 3a)$. Для упрощения выражения раскроем скобки. Перед первой скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых внутри нее сохраняются. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные: $5 + 3a - 5b + 7c - 7c + 5b - 3a$. Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(3a - 3a) + (-5b + 5b) + (7c - 7c) + 5$. Вычисляем: $0 + 0 + 0 + 5 = 5$.
Ответ: $5$.

б) $7 - (3x - 4y + 1) - (4y - 3x + 1)$. Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых в каждой из них на противоположные, так как перед обеими скобками стоит знак минус: $7 - 3x + 4y - 1 - 4y + 3x - 1$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(-3x + 3x) + (4y - 4y) + (7 - 1 - 1)$. Вычисляем: $0 + 0 + 5 = 5$.
Ответ: $5$.

в) $4x - (2x - 7y + 6) + (11 - 2x - 7y)$. Раскроем скобки. Перед первой скобкой стоит знак минус, поэтому меняем знаки слагаемых внутри нее. Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых сохраняются: $4x - 2x + 7y - 6 + 11 - 2x - 7y$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(4x - 2x - 2x) + (7y - 7y) + (-6 + 11)$. Вычисляем: $0 + 0 + 5 = 5$.
Ответ: $5$.

г) $3y + (x + y - 7) - (4y - 12 + x)$. Раскроем скобки. Знаки в первой скобке сохраняются, а во второй меняются на противоположные: $3y + x + y - 7 - 4y + 12 - x$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(x - x) + (3y + y - 4y) + (-7 + 12)$. Вычисляем: $0 + 0 + 5 = 5$.
Ответ: $5$.

д) $(a - b) - (c - b) - (a - c)$. Раскроем все скобки. Перед первой скобкой знак плюс (по умолчанию), знаки сохраняются. Перед второй и третьей скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри них меняются на противоположные: $a - b - c + b - a + c$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(a - a) + (-b + b) + (-c + c)$. Вычисляем: $0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

е) $-(a - b) - (b - c) - (c - a)$. Раскроем скобки. Перед каждой из скобок стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные: $-a + b - b + c - c + a$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(-a + a) + (b - b) + (c - c)$. Вычисляем: $0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

142. Найдите многочлен, равный произведению одночлена и многочлена:

а) $3(x - y) = \dots\dots\dots\dots\dots$

б) $x(x + 2y) = \dots\dots\dots\dots\dots$

в) $5x(x - 3) = \dots\dots\dots\dots\dots$

г) $y(x - y - 1) = \dots\dots\dots\dots\dots$

Чтобы найти многочлен, равный произведению одночлена и многочлена, необходимо воспользоваться распределительным свойством умножения. Это означает, что нужно умножить одночлен на каждый член многочлена, а затем сложить полученные результаты.

а) $3(x - y)$

Умножаем одночлен $3$ на каждый член многочлена $(x - y)$:

$3 \cdot x = 3x$

$3 \cdot (-y) = -3y$

Складываем полученные произведения: $3x + (-3y) = 3x - 3y$.

Ответ: $3x - 3y$

б) $x(x + 2y)$

Умножаем одночлен $x$ на каждый член многочлена $(x + 2y)$:

$x \cdot x = x^2$

$x \cdot (2y) = 2xy$

Складываем полученные произведения: $x^2 + 2xy$.

Ответ: $x^2 + 2xy$

в) $5x(x - 3)$

Умножаем одночлен $5x$ на каждый член многочлена $(x - 3)$:

$5x \cdot x = 5x^2$

$5x \cdot (-3) = -15x$

Складываем полученные произведения: $5x^2 + (-15x) = 5x^2 - 15x$.

Ответ: $5x^2 - 15x$

г) $y(x - y - 1)$

Умножаем одночлен $y$ на каждый член многочлена $(x - y - 1)$:

$y \cdot x = xy$

$y \cdot (-y) = -y^2$

$y \cdot (-1) = -y$

Складываем полученные произведения: $xy + (-y^2) + (-y) = xy - y^2 - y$.

Ответ: $xy - y^2 - y$

314. Из «Арифметики» Н. Г. Курганова (1791). 23 человека — мужчин и женщин — ели в харчевне. Каждый мужчина платил 5 к., каждая женщина — 4 к., всего заплатили 1 р. Сколько было мужчин и женщин в отдельности?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим количество мужчин за $x$, а количество женщин за $y$.

Исходя из условия, всего в харчевне было 23 человека, что дает нам первое уравнение:

$x + y = 23$

Каждый мужчина заплатил 5 копеек, а каждая женщина — 4 копейки. Общая сумма составила 1 рубль, то есть 100 копеек. Отсюда получаем второе уравнение, которое отражает общую сумму платы:

$5x + 4y = 100$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 23 \\ 5x + 4y = 100 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 23 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x + 4(23 - x) = 100$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$5x + 92 - 4x = 100$

$(5x - 4x) + 92 = 100$

$x = 100 - 92$

$x = 8$

Итак, мы нашли, что в харчевне было 8 мужчин. Теперь найдем количество женщин, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 23 - x = 23 - 8 = 15$

Таким образом, в харчевне было 15 женщин.

Выполним проверку полученных результатов:

1. Общее количество людей: $8 \text{ мужчин} + 15 \text{ женщин} = 23 \text{ человека}$. Это соответствует условию задачи.

2. Общая сумма платы: $(8 \times 5 \text{ копеек}) + (15 \times 4 \text{ копейки}) = 40 \text{ копеек} + 60 \text{ копеек} = 100 \text{ копеек}$, что равно 1 рублю. Это также соответствует условию задачи.

Ответ: в харчевне было 8 мужчин и 15 женщин.

315. Задача С. А. Рачинского (1833—1902). За 1000 р. я купил 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других в отдельности?

Для решения этой задачи можно использовать систему линейных уравнений. Пусть $x$ — это количество коров, купленных по 18 рублей, а $y$ — количество коров, купленных по 26 рублей.

Согласно условию, всего было куплено 44 коровы. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 44$

Общая сумма, потраченная на покупку, составила 1000 рублей. Это можно выразить в виде второго уравнения:

$18x + 26y = 1000$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 44 \\ 18x + 26y = 1000 \end{cases} $

Решим эту систему. Для начала выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 44 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$18(44 - y) + 26y = 1000$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$792 - 18y + 26y = 1000$

Приведем подобные слагаемые:

$8y = 1000 - 792$

$8y = 208$

Теперь найдем $y$:

$y = \frac{208}{8}$

$y = 26$

Мы нашли, что было куплено 26 коров по цене 26 рублей.

Чтобы найти количество коров по 18 рублей, подставим значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 44 - 26$

$x = 18$

Таким образом, было куплено 18 коров по цене 18 рублей.

Проверим результат:

Общее количество коров: $18 + 26 = 44$.

Общая стоимость: $18 \times 18 + 26 \times 26 = 324 + 676 = 1000$ рублей.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: было куплено 18 коров по 18 рублей и 26 коров по 26 рублей.