gdz.top
Страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов
Авторы: Потапов М. К.
Тип: рабочая тетрадь
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2018 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки: синий, зелёный в сеточку
ISBN: 978-5-09-051661-7(общ.)
Популярные ГДЗ в 7 классе
Часть 1. Cтраница 59
Страница 58
№160 (с. 59)
Условие. №160 (с. 59)
160. Упростите целое выражение:
а) $(a - b)(b - c) - (a + c)(b + c) = ...$
б) $(a + b)(b - c) - (a - c)(b + c) = ...$
в) $(a - b)(-b - c) + (a + c)(b - c) = ...$
Решение. №160 (с. 59)
Решение 2. №160 (с. 59)
а) $(a - b)(b - c) - (a + c)(b + c)$
Для упрощения выражения сначала раскроем скобки в каждом произведении многочленов.
Первое произведение: $(a - b)(b - c) = a \cdot b + a \cdot (-c) - b \cdot b - b \cdot (-c) = ab - ac - b^2 + bc$.
Второе произведение: $(a + c)(b + c) = a \cdot b + a \cdot c + c \cdot b + c \cdot c = ab + ac + bc + c^2$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(ab - ac - b^2 + bc) - (ab + ac + bc + c^2)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки всех слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобками стоит знак минус:
$ab - ac - b^2 + bc - ab - ac - bc - c^2$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$(ab - ab) + (-ac - ac) - b^2 + (bc - bc) - c^2 = 0 - 2ac - b^2 + 0 - c^2 = -b^2 - c^2 - 2ac$
Ответ: $-b^2 - c^2 - 2ac$
б) $(a + b)(b - c) - (a - c)(b + c)$
Раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение: $(a + b)(b - c) = a \cdot b + a \cdot (-c) + b \cdot b + b \cdot (-c) = ab - ac + b^2 - bc$.
Второе произведение: $(a - c)(b + c) = a \cdot b + a \cdot c - c \cdot b - c \cdot c = ab + ac - bc - c^2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(ab - ac + b^2 - bc) - (ab + ac - bc - c^2)$
Раскроем вторые скобки с изменением знаков:
$ab - ac + b^2 - bc - ab - ac + bc + c^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(ab - ab) - ac - ac + b^2 - bc + bc + c^2 = 0 - 2ac + b^2 + 0 + c^2 = b^2 + c^2 - 2ac$
Ответ: $b^2 + c^2 - 2ac$
в) $(a - b)(-b - c) + (a + c)(b - c)$
Раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение: $(a - b)(-b - c) = a \cdot (-b) + a \cdot (-c) - b \cdot (-b) - b \cdot (-c) = -ab - ac + b^2 + bc$.
Второе произведение: $(a + c)(b - c) = a \cdot b + a \cdot (-c) + c \cdot b + c \cdot (-c) = ab - ac + bc - c^2$.
Подставим полученные выражения в исходное. Так как между произведениями стоит знак плюс, скобки можно просто опустить:
$(-ab - ac + b^2 + bc) + (ab - ac + bc - c^2) = -ab - ac + b^2 + bc + ab - ac + bc - c^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(-ab + ab) + (-ac - ac) + b^2 + (bc + bc) - c^2 = 0 - 2ac + b^2 + 2bc - c^2 = b^2 - c^2 + 2bc - 2ac$
Ответ: $b^2 - c^2 + 2bc - 2ac$
№161 (с. 59)
Условие. №161 (с. 59)
161*. Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом:
a) $(a + b)(a - b) - (a - c)(a + c) + (b - c)(b + c) = \dots$
б) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (b + c)(b^2 - bc + c^2) - (a + c)(a^2 - ac + c^2) = \dots$
Решение. №161 (с. 59)
Решение 2. №161 (с. 59)
а) $(a + b)(a - b) - (a - c)(a + c) + (b - c)(b + c)$
Для доказательства того, что данное выражение является нулевым многочленом, необходимо его упростить. Мы можем использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Применим эту формулу к каждому произведению в выражении:
Первый член: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
Второй член: $(a - c)(a + c) = a^2 - c^2$
Третий член: $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$
Теперь подставим упрощенные члены обратно в исходное выражение:
$(a^2 - b^2) - (a^2 - c^2) + (b^2 - c^2)$
Раскроем скобки. Важно обратить внимание на знак минус перед второй скобкой, который меняет знаки внутри нее:
$a^2 - b^2 - a^2 + c^2 + b^2 - c^2$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2)$
Выполним вычитание и сложение в каждой группе:
$0 + 0 + 0 = 0$
Поскольку результатом преобразований является 0, данное выражение является нулевым многочленом.
Ответ: Выражение тождественно равно 0, что и требовалось доказать.
б) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (b + c)(b^2 - bc + c^2) - (a + c)(a^2 - ac + c^2)$
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения для разности и суммы кубов:
Разность кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$
Сумма кубов: $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$
Применим эти формулы к каждому члену исходного выражения:
Первый член является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$
Второй член является формулой суммы кубов: $(b + c)(b^2 - bc + c^2) = b^3 + c^3$
Третий член является формулой суммы кубов: $(a + c)(a^2 - ac + c^2) = a^3 + c^3$
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
$(a^3 - b^3) + (b^3 + c^3) - (a^3 + c^3)$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед последним слагаемым:
$a^3 - b^3 + b^3 + c^3 - a^3 - c^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^3 - a^3) + (-b^3 + b^3) + (c^3 - c^3)$
Выполним вычисления:
$0 + 0 + 0 = 0$
Таким образом, выражение упрощается до 0, что доказывает, что оно является нулевым многочленом.
Ответ: Выражение тождественно равно 0, что и требовалось доказать.
№162 (с. 59)
Условие. №162 (с. 59)
162. Вычислите значение целого выражения при данном значении буквы:
а) если $x = 3$, то $5x - 10 = \dots$
б) если $y = -2$, то $-5y - 9 = \dots$
в) если $x = -1$, то $x^2 + x = \dots$
г) если $y = -3$, то $y^2 - y = \dots$
Решение. №162 (с. 59)
Решение 2. №162 (с. 59)
а) Чтобы вычислить значение выражения $5x - 10$ при $x = 3$, нужно подставить число 3 вместо переменной $x$ и выполнить указанные действия в соответствии с порядком их выполнения.
Подставляем $x = 3$:
$5x - 10 = 5 \cdot 3 - 10$
Сначала выполняем умножение:
$5 \cdot 3 = 15$
Затем выполняем вычитание:
$15 - 10 = 5$
Ответ: 5
б) Чтобы вычислить значение выражения $-5y - 9$ при $y = -2$, подставим значение $-2$ вместо переменной $y$.
Подставляем $y = -2$:
$-5y - 9 = -5 \cdot (-2) - 9$
Выполняем умножение. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное:
$-5 \cdot (-2) = 10$
Теперь выполняем вычитание:
$10 - 9 = 1$
Ответ: 1
в) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 + x$ при $x = -1$, подставим $-1$ вместо переменной $x$ в каждом её вхождении.
Подставляем $x = -1$:
$x^2 + x = (-1)^2 + (-1)$
Сначала возводим в степень. Квадрат числа $-1$ равен 1:
$(-1)^2 = 1$
Теперь выполняем сложение:
$1 + (-1) = 1 - 1 = 0$
Ответ: 0
г) Чтобы вычислить значение выражения $y^2 - y$ при $y = -3$, подставим $-3$ вместо переменной $y$.
Подставляем $y = -3$:
$y^2 - y = (-3)^2 - (-3)$
Возводим в степень. Квадрат числа $-3$ равен 9:
$(-3)^2 = 9$
Далее выполняем вычитание. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению соответствующего положительного числа:
$9 - (-3) = 9 + 3 = 12$
Ответ: 12
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.